Question

（20分）如图（甲）所示，两光滑导轨都由水平、倾斜两部分圆滑对接而成，相互平行放置，两导轨相距L＝lm ，倾斜导轨与水平面成θ＝30°角，倾斜导轨的下面部分处在一垂直斜面的匀强磁场区I中，I区中磁场的磁感应强度B₁随时间变化的规律如图（乙）所示，图中t₁、t₂未知。水平导轨足够长，其左端接有理想电流表G和定值电阻R＝3Ω，水平导轨处在一竖直向上的匀强磁场区Ⅱ中，Ⅱ区中的磁场恒定不变，磁感应强度大小为B₂＝1T ，在t＝0时刻，从斜轨上磁场I 区外某处垂直于导轨水平释放一金属棒ab，棒的质量m＝0.1kg，电阻r＝2Ω，棒下滑时与导轨保持良好接触，棒由倾斜导轨滑向水平导轨时无机械能损失，导轨的电阻不计。若棒在斜面上向下滑动的整个过程中，电流表G的示数大小保持不变，t₂时刻进入水平轨道，立刻对棒施一平行于框架平面沿水平方向且与杆垂直的外力。（g取10m/s²）求：

（l）ab 棒进入磁场区I 时的速度v；
（2）磁场区I在沿斜轨方向上的宽度d；
（3）棒从开始运动到刚好进入水平轨道这段时间内ab棒上产生的热量；
（4）若棒在t₂时刻进入水平导轨后，电流表G的电流大小I随时间t变化的关系如图（丙）所示（I₀未知），已知t₂到t₃的时间为0.5s，t₃到t₄的时间为1s，请在图（丁）中作出t₂到t₄时间内外力大小
F随时间t变化的函数图像。

Answer 1

（1）2.5m/s（2）0.625m（3）0.375J（4）见解析

(20分)
(1)电流表的示数不变，说明在整个下滑过程中回路的的电动势是不变的，说明在B变化时和不变时感应电动势大小一样，所以可以判断在t₁时刻棒刚好进入磁场区域且做匀速直线运动。
mgsin-BIL=0，  ，    E₁=BLV,  代入数值得v=2.5m/s        （4分）
（2）没进入磁场以前做匀加速直线运动，加速度是  a=gsin30⁰=5m/s²,  v=at,  t₁=0.5s  ,
下滑的距离是s₁=at₂=0.625m，再没进入磁场以前，由于B均匀变化，所以E₂=，        
又E₁=BLV   E₁= E₂ ，  41d=112.5，   d=0.625m                 （6分）
（3）ab棒进入磁场以前，棒上产生的热量为    Q₁=I²Rt₁=0.5²×2×0.5J=0.25J
取ab棒在斜轨磁场中运动为研究过程，    mgd sin-Q₂=0      Q₂="0.3125J."
此时，棒上产生的热量是Q_2r==0.125J                       
则棒上产生的总热量是Qr= Q₁+Q_2r="0.375" J               （6分）
或：Q_r=I²R（t₁+t₂）=0.5²×2×(0.5+0.25)J=0.375J
(4) 因为E=BLv，所以刚进水平轨道时时的电动势是E=2.5V,   I₀==0.5A
取t₂时刻为零时刻，则根据图线可以写出I-t的方程式：I=0.5-tˊ，I=,
则v="2.5-5" tˊ，所以a₁=5m/s².有牛顿第二定律可得：F+BIL=ma₁，F+I=1  F=tˊ
画在坐标系里。

由丙图可以同理得出棒运动的加速度大小是a₂=2.5m/s²,依据牛顿定律得F-BIL=ma₂
取t₃时刻为零时刻，可以写出t₃时刻后的I与时间的关系式，I="0.5" t ，代入上面的式子可以得到F=0.25+0.5t画在坐标系里。(图中图线作为参考)                       （4分）
本题考查的是电磁感应定律和力学综合的相关问题，根据电磁感应定律和匀速直线运动的受力平衡可以求出运动速度；根据匀加速直线运动的规律求出磁场宽度；根据焦耳定律和功能关系可以求出产生的焦耳热；根据欧姆定律和牛顿第二定律可以得出力与时间的关系；