Question

（2010?徐州三模）2009年12月24日，美国的一个研究小组宣布，他们在蛇夫星座中发现一颗富含水份的行星“GJl214b”．“GJl214b”距离地球约40光年，体积约为地球的2.7倍，质量约是地球的6.5倍，环绕着一颗比太阳小且温度低的红矮星运行，轨道半径为209万公里，公转周期为38小时．已知地球半径为6400km，地球表面的重力加速度为9.8m/s²，引力常量G为6.67×10^-11N?m²?kg^-2．由以上信息可估算出（　　）

A．红矮星的质量

B．红矮星的密度

C．“GJl214b”行星的质量

D．“GJl214b”行星的密度

Answer 1

分析：（1）据已知先从行星绕红矮星公转入手，通过万有引力充当向心力和圆周运动学公式可寻求红矮星质量和已知常量的关系可计算相关要素；
（2）据地球表面万有引力充当重力可估算出地球的体积和质量，进而通过已知求出该行星的质量和密度．

解答：解：设红矮星的质量为M，体积为S₁；地球的质量为m，体积为S，半径为r=6400km，表面重力加速度为g=9.8m/s²；则“GJl214b”行星的质量为6.5m，体积为2.7S，绕红矮星轨道半径为R=209万公里，向心力为F，公转速度为V，公转周期为T=38小时；
   （1）据“GJl214b”行星的公转运动和万有引力充当向心力，
    可得    F=G

6.5mM

R2

=6.5m

V2

R

                           ①
   另据公转速度   V=

2πR

T

                                   ②
   把②代入①可得红矮星的质量   M=

4πR3

GT2

     （其中R、T、G均为常量，直接代入数字即可估算出红矮星的质量）    ③
   红矮星的密度=

M

S1

=

4πR3

GT2S1

            （其中S₁为未知量，无法估算出红矮星的密度）                            ④
  （2）设地球表面一物体质量为m₁，
   据万有引力充当重力得  m1g=G

mm1

r2

    转换得 m=

gr2

G

                        ⑤
   地球的体积      S=

4πr3

3

                                                      ⑥
   则“GJl214b”行星的质量=6.5m=

6.5gr2

G

  （直接代入即可估算出行星的质量）      ⑦
“GJl214b”行星的体积=2.7S=

2.7×4πr3

3

（为常量，代入即可估算体积）           ⑧
   由③⑦⑧可知选项 ACD正确，由④可知选项 B错误
故选 ACD．

点评：题目并不难，唯一的就是变量和常量太多容易混淆．以后遇到此种题目，注意对运动情景拆解成较为简单的分情景，分别分析，一般就比较简单了．