Question

如图，半径R=0.9m的四分之一圆弧形光滑轨道竖直放置，圆弧最低点B与长为L=1m的水平面相切于B点，BC离地面高h=0.45m，C点与一倾角为θ=30°的光滑斜面连接，质量m=1kg的小滑块从圆弧顶点D由静止释放，已知滑块与水平面间的动摩擦因数?=0.1，取g=10m/s²．求：
（1）小滑块刚到达圆弧B点时的速度v_B
（2）它到B点处对圆弧压力的大小．
（3）小滑块运动到C点时的速度v_C．
（4）小滑块从C点运动到地面所需的时间．

Answer 1

分析：（1）物体先做圆周运动，只有重力做功．机械能守恒，由机械能守恒定律可得出球在B点的速度．
（2）滑块经过B点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，则由向心力公式可求得小球对圆弧的压力；
（3）由B到C物体做匀减速运动，可以由动能定理求出C点的速度；
（4）小球离开C后做平抛运动，分析平抛运动能否落到斜面上，若不落在斜面上则由竖直分运动求出时间，若落到斜面上，则要分段考虑．

解答：解：（1）设小滑块运动到B点的速度为v_B，由机械能守恒定律有：mgR=

1

2

mv_B² ①
解得vB=3

2

m/s
（2）在B点，由牛顿第二定律有   F-mg=m

v 2 B

R

  ②
联立①②解得在B点F=3mg=30 N
由牛顿第三定律有，小滑块在B点时对圆弧的压力F′=F=30N 
（3）设小滑块运动到C点的速度为v_C，
由动能定理有：mgR-?mgL=

1

2

mv_C²  
解得  v_C=4 m/s   
（4）设小滑块平抛到地面的水平距离s=v_Ct  
竖直方向：t=

2h g

=0.3s 
则水平距离s=1.2m 
斜面底宽d=hcotθ=0.78m
因为s＞d，所以小滑块离开C点后不会落到斜面上．
小滑块从C点运动到地面所需的时间即为小滑块平抛运动所用时间t=

2h g

=0.3s
答：
（1）小滑块刚到达圆弧B点时的速度v_B为3

2

m/s．
（2）它到B点处对圆弧压力的大小是30N．
（3）小滑块运动到C点时的速度v_C是4m/s
（4）小滑块从C点运动到地面所需的时间是0.3s．

点评：对于多过程的题目要注意分析不同的过程，若只求速度优先考虑动能定理或机械能守恒，但若题目中涉及时间应采用牛顿运动定律或运动模型的性质．