Question

19． 如图所示，两倾斜轨道cb、cd间用一段很小的圆弧连接，其中倾角θ=37°，长度为L=26.25m的cd轨道粗糙，光滑轨道cd的顶端d与水平地面间的高度差为h=0.2m，长度l=0.4m，一质量m=0.1kg的小滑块从倾斜轨道cb的顶端以v_b=5m/s的初速度滑下，到达轨道d点时速度为零，取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）滑块与轨道cb间的动摩擦因数μ；
（2）滑块在两轨道上运动的总时间t．

Answer 1

分析 （1）对滑块从b到d过程由动能定理可求得滑块与轨道cb间的动摩擦因数；
（2）由匀变速直线运动的平均速度公式可求得两过程中的平均速度，再由位移公式即可求得bc段和cd段的时间，则可求得滑块在两轨道上运动的总时间t．

解答 解：（1）b点与水平面的高度差h₁=Lsinθ=26.25×0.6m=15.75m
滑块从b运动到d的过程中，由动能定理有
mg（h₁-h）-μmgcosθ•L=0-$\frac{1}{2}{mv}_{b}^{2}$
解得μ=$\frac{5}{7}$；
（2）滑块从b运动到c的过程中，由动能定理有
mgh₁-μmgcosθ•L=$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{b}^{2}$
解得滑块到达c点的速度v_c=$2\sqrt{10}m/s$
则滑块从b到c的过程中的平均速度$\overline{{v}_{1}}=\frac{{v}_{c}+{v}_{b}}{2}=\frac{2\sqrt{10}+5}{2}$m/s
则L=$\overline{{v}_{1}}{t}_{1}$
解得滑块从b到c运动的时间t₁=7$\sqrt{10}$-17.5s
滑块从c到d的过程中的平均速度$\overline{{v}_{2}}=\frac{{v}_{c}+{v}_{d}}{2}=\sqrt{10}m/s$
则l=$\overline{{v}_{2}}{t}_{2}$
解得滑块从c到d运动的时间t₂=$\frac{\sqrt{10}}{25}$s
故滑块在两轨道上运动的总时间t=t₁+t₂≈4.8s；
答：（1）滑块与轨道cb间的动摩擦因数μ为$\frac{5}{7}$；
（2）滑块在两轨道上运动的总时间t约为4.8s．

点评 本题考查动能定理的应用，对于力和运动结合的题目应注意优先选择动能定理求解能使问题简单化．在利用动能定理解题时注意分析整个过程中各力的做功情况．