Question

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图5-4-3所示.引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.

图5-4-3

(1)可见星A所受暗星B的引力F_a可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂，试求m′(用m₁、m₂表示);

(2)求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；

(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×10⁵ m/s，运行周期T=4.7π×10⁴ s，质量m₁=6m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

(G=6.67×10^-11N·m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰kg)

Answer 1

解析：设A、B圆轨道半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.由牛顿运动定律，有

F_A=m₁ω²r₁,F_B=m₂ω²r₂,F_A=F_B

设A、B之间的距离为r，又r=r₁+r₂，由上述各式得

r=r₁                                                                ①

由万有引力定律，有F_A=G

将①代入得

F_A=G

令F_A=G

比较可得m′=.                                                ②

(2)由牛顿第二定律，有

G=m₁                                                              ③

又可见星A的轨道半径r₁=                                                 ④

由②③④式解得=.                                              ⑤

(3)将m₁=6m_s代入⑤式，得

=

代入数据得

=3.5m₅                                                            ⑥

设m₂=nm_s(n＞0)，将其代入⑥式，得

=m_s=3.5m下标_s                        ⑦

可见，分的值随n的增大而增大，试令n=2，得

m_s=0.125m下标s＜3.5m_s                             ⑧

若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m₂必大于2m下标s，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.

答案：(1)m′=

(2) =

(3)暗星B有可能是黑洞.