Question

【题目】如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上放置一质量为m的物块B，B的下端连接一轻质弹簧，弹簧下端与挡板相连接，B平衡时，弹簧的压缩量为x0，O点为弹簧的原长位置．在斜面顶端另有一质量为m的物块A，距物块B为3x0，现让A从静止开始沿斜面下滑，A与B相碰后立即一起沿斜面向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又一道向上运动，并恰好回到O点（A、B均视为质点）．试求：

（1）A、B相碰后瞬间的共同速度的大小；

（2）A、B相碰前弹簧具有的弹性势能；

（3）若在斜面顶端再连接一光滑的半径R＝x0的半圆轨道PQ，圆轨道与斜面相切于最高点P，现让物块A以初速度v从P点沿斜面下滑，与B碰后返回到P点还具有向上的速度，试问：v为多大时物块A恰能通过圆弧轨道的最高点？

Answer 1

【答案】

【解析】

试题（1）A与B球碰撞前后，A球的速度分别是v1和v2，因A球滑下过程中，机械能守恒，有：

mg（3x0）sin30°=mv12

解得：…①

又因A与B球碰撞过程中，动量守恒，有：mv1=2mv2…②

联立①②得：

（2）碰后，A、B和弹簧组成的系统在运动过程中，机械能守恒．

则有：EP+2mv22＝0+2mgx0sin30°

解得：EP＝2mgx0sin30°2mv22=mgx0mgx0＝mgx0…③

（3）设物块在最高点C的速度是vC，

物块A恰能通过圆弧轨道的最高点C点时，重力提供向心力，得：

所以：④

C点相对于O点的高度：

h=2x0sin30°+R+Rcos30°=x0…⑤

物块从O到C的过程中机械能守恒，得：mvo2＝mgh+mvc2…⑥

联立④⑤⑥得：…⑦

设A与B碰撞后共同的速度为vB，碰撞前A的速度为vA，滑块从P到B的过程中机械能守恒，得：mv2+mg（3x0sin30°）＝mvA2…⑧

A与B碰撞的过程中动量守恒．得：mvA=2mvB…⑨

A与B碰撞结束后从Bspan>到O的过程中机械能守恒，得：2mvB2+EP＝2mvo2+2mgx0sin30°…⑩

由于A与B不粘连，到达O点时，滑块B开始受到弹簧的拉力，A与B分离．

联立⑦⑧⑨⑩解得：