Question

2．估算地球的质量和密度，已知地球的半径R，自转周期T，万有引力恒量G，及以下条件之一：
（1）地球表面的重力加速度g；
（2）环绕地球表面作圆周运动的卫星的周期T₁；
（3）绕地球做圆周运动的卫星的高度为h，周期T₂；
（4）绕地球做圆周运动的卫星的高度为h，速度为v．

Answer 1

分析 根据旋转天体绕中心天体运行的模型，由旋转天体公转半径和周期求出中心天体的质量分析：
由卫星绕地球运行的周期T和轨道板，能求出地球的质量．
根据万有引力等于重力求出地球的质量
根据密度公式求解．

解答 解：（1）根据万有引力等于重力有
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$，
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=R
环绕地球表面作圆周运动的卫星的周期T₁；
M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}_{1}^{2}}$，
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$，
（3）根据万有引力提供圆周运动向心力有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=h+R
绕地球做圆周运动的卫星的高度为h，周期T₂；
M=$\frac{{{4π}^{2}（R+h）}^{3}}{{GT}_{2}^{2}}$，
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3{π（R+h）}^{3}}{{{GR}^{3}T}_{2}^{2}}$
（4）根据万有引力提供圆周运动向心力有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$m$\frac{{v}^{2}}{r}$，r=h+R
绕地球做圆周运动的卫星的高度为h，速度为v．
M=$\frac{{（R+h）v}^{2}}{G}$
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{{3（R+h）v}^{2}}{4π{GR}^{3}}$
答：（1）地球表面的重力加速度g，地球的质量和密度分别是$\frac{{gR}^{2}}{G}$和$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）环绕地球表面作圆周运动的卫星的周期T₁，地球的质量和密度分别是$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}_{1}^{2}}$和$\frac{3π}{{GT}_{1}^{2}}$；
（3）绕地球做圆周运动的卫星的高度为h，周期T₂，地球的质量和密度分别是$\frac{{{4π}^{2}（R+h）}^{3}}{{GT}_{2}^{2}}$和$\frac{3{π（R+h）}^{3}}{{{GR}^{3}T}_{2}^{2}}$；
（4）绕地球做圆周运动的卫星的高度为h，速度为v，地球的质量和密度分别是$\frac{{（R+h）v}^{2}}{G}$和$\frac{{3（R+h）v}^{2}}{4π{GR}^{3}}$．

点评 计算中心天体质量的方法主要有：地球表面重力与万有引力相等，万有引力提供环绕天体的向心力，据此列式分析即可，关键是掌握方法．