Question

7．如图甲所示，A、B两块金属板水平放置，相距为d=0.6cm，两板间加有一周期性变化的电压，当B板接地（φ_B=0）时，A板电势φ_A，随时间变化的情况如图乙所示．现有一带负电的微粒在t=0时刻从B板中央小孔射入电场，若该带电微粒受到的电场力为重力的两倍，且射入电场时初速度可忽略不计．求：（g=10m/s²）．
（1）在0～$\frac{T}{2}$和$\frac{T}{2}$～T这两段时间内微粒的加速度大小和方向；
（2）若该微粒上升到最高点时速度恰好达到最大，所加电压的周期T为多少？
（3）若该微粒上升到最高点时恰好不与A板相碰，所加电压的周期T为多少？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出加速度的大小和方向；
（2）带电粒子在电场中加速，电子在前$\frac{T}{2}$上升到最高点求出位移然后求时间；
（3）先由运动学公式表示出整个周期内的位移，根据总位移不大于d进行求解．

解答 解：（1）设电场力大小为F，则F=2mg，对于t=0时刻射入的微粒，
在前半个周期内，由牛顿第二定律得：F-mg=ma₁，解得：a₁=10m/s²，方向向上．
后半个周期的加速度a₂，由牛顿第二定律得：F+mg=ma₂，解得：a₂=30 m/s²，方向向下．
（2）在前$\frac{1}{2}$T时间内微粒恰好上升到最高点，这时速度达到最大d=$\frac{1}{2}$a₁（$\frac{T}{2}$）²，
解得：T=2$\sqrt{3}$×10^-2s=3.46×10^-2s；
（3）在前半周期上升的高度：h₁=$\frac{1}{2}$a₁（$\frac{T}{2}$）²=$\frac{1}{2}$gT²，
前半周期微粒的末速度为：$\frac{1}{2}$gT，
后半周期先向上做匀减速运动，设减速运动时间t₁，则3gt₁=$\frac{1}{2}$gT，t₁=$\frac{1}{6}$T，
此段时间内上升的高度h₂=$\frac{1}{2}$a₂t₁²=$\frac{1}{2}$×3g×（$\frac{1}{6}$T）²=$\frac{g{T}^{2}}{24}$，
则上升的总高度h₁+h₂=$\frac{g{T}^{2}}{6}$，
上升过程中不与A板相碰，则h₁+h₂≤d，即：$\frac{g{T}^{2}}{6}$≤d，
所加电压的周期最长为T_m=$\sqrt{\frac{6d}{g}}$=6×10^-2s
答：（1）在0～$\frac{T}{2}$加速度大小为：10m/s²，方向向上；在$\frac{T}{2}$～T内的加速度大小为：30m/s²，方向向下；
（2）若该微粒上升到最高点时速度恰好达到最大，所加电压的周期T为3.46×10^-2s
（3）若该微粒上升到最高点时恰好不与A板相碰，所加电压的周期T为6×10^-2s．

点评 本题考查了带电粒子在电场中做匀变速直线运动的情况，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解即可．