Question

如图所示，无初速度带正电粒子经过MN两平行板间的电场加速后，从N板小孔射出，当粒子到达P点时，宽度l=1.6m的长方形abcd区域内出现太小B=0.4T、方向垂直纸面且随时间交替变化的磁场，每经T₀=

π

4

×10-3，磁场方向变化一次，粒子刚到P点时磁场方向垂直纸面向外．已知P点正下方有一点Q，P、Q之间的距离s=3m，PQ是ab和cd的垂直平分线，带电粒子的比荷

q

m

=1×104C/kg，重力可忽略不计．问：
（1）加速电压为200V时，求带电粒子经过N板小孔时的速度大小；
（2）带电粒子能否经过Q点？
（3）若带电粒子能经过Q点，则加速电压的最大值应是多少？

Answer 1

分析：（1）加速电压为200V时，由动能定理求出速度．
（2）带电粒子进入磁场后由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，推导出周期公式，分析粒子运动的周期与磁场变化周期的关系，由半径来确定能否经过Q点；
（3）根据长度的关系，来确定相碰条件，从而求得最小半径，由半径公式与动能定理，共同求出加速电压最大值．

解答：解：（1）带电粒子在加速电场中，由动能定理得：qU=

1

2

mv2
解得：v=

2qU m

  
代入数据解得：v=2×10³m/s     
（2）粒子以速度v匀速运动到P点时，出现垂直纸面向外的匀强磁场，粒子向下偏转做匀速圆周运动，
周期：T=

2πm

qB

=

π

2

×10^-3s
则：T=2T₀
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB=m

v2

r

，
则得 半径r=

mv

qB

=0.5m
则r＜

l

2

=0.8m故粒子恰做完半圈圆周运动时磁场改变方向，继续做新的半圆周运动，由于PQ=s=3m，2r=1m，所以带电粒子能经过Q点．粒子的运动轨迹如图所示．  
（3）粒子在磁场中运动的半径可表示为r=

mv

qB

=

1

B

2mU q

，要使带电粒子能经过Q点，除保持磁场变化周期不变外，还需满足：
①r≤

l

2

；即

1

B

2mU q

≤

l

2

，
化简得 U≤

B2l2q

8m

=512V
②s=2Nr；即N=

Bs

2

q 2mU

，
解得 U=

1800

N2

当N=1时，U=1800V，不满足要求；
当N=2时，电压U最大，U_max=450V          
答：
（1）加速电压为200V时，带电粒子经过N板小孔时的速度大小为2×10³m/s；
（2）带电粒子能经过Q点．
（3）若带电粒子能经过Q点，则加速电压的最大值应是450V．

点评：考查粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，推导出的半径与周期公式，并掌握动能定理在此应用，同时还掌握几何关系的运用．