Question

1．如图所示，竖直的半圆形轨道与水平面相切，轨道半径R=0.2m，质量m=200g的小球以某一速度正对半圆形轨道运动，A、B、C三点分别为圆轨道最低点，与圆心等高点、最高点．小球过这三点的速度分别为：v₁=5m/s，v₂=4m/s，v₃=3m/s，求：
（1）小球经过这三个位置时对轨道的压力？
（2）小球从C点飞出到落到水平面上，其着地点与A点相距多少？（g=10m/s²）
（3）小球在最高点不脱离轨道的最小速率又是多少？

Answer 1

分析 （1）在A、C两点，小球靠重力和弹力的合力提供向心力，在B点，小球靠弹力提供向心力，结合牛顿第二定律求出轨道对小球的弹力大小，从而结合牛顿第三定律得出小球经过这三个位置时对轨道的压力；
（2）根据高度求出平抛运动的时间，结合C点的速度和时间求出着地点与A点的距离；
（3）当小球到达最高点，刚好由重力提供向心力时，速度最小，根据牛顿第二定律求解最小速度．

解答 解：（1）在A点，根据牛顿第二定律得：${N}_{A}-mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
解得：${N}_{A}=mg+m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$=2+0.2×$\frac{25}{0.2}$N=27N．
在B点，根据牛顿第二定律得：${N}_{B}=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}=0.2×\frac{16}{0.2}$N=16N．
在C点，根据牛顿第二定律得：${N}_{C}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：${N}_{C}=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}-mg=0.2×\frac{9}{0.2}-2$=7N，
根据牛顿第三定律知，小球经过三个位置时对轨道的压力分别为27N、16N、7N．
（2）根据2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
着地点与A点相距为：x=${v}_{C}t=3×\sqrt{\frac{4×0.2}{10}}=\frac{3\sqrt{2}}{5}m$．
（3）当小球到达最高点，刚好由重力提供向心力时，速度最小，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{{v}_{min}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{min}=\sqrt{gR}=\sqrt{2}m/s$．
答：（1）小球经过三个位置时对轨道的压力分别为27N、16N、7N；
（2）小球从C点飞出落到水平面上，其着地点与A点相距$\frac{3\sqrt{2}}{5}m$；
（3）小球在最高点不脱离轨道的最小速率为$\sqrt{2}m/s$．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．