Question

2．如图所示，BCDG是光滑绝缘的$\frac{3}{4}$圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中． 现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为$\frac{3}{4}mg$，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g．sin37°=0.6，cos37°=0.8

（1）若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，求滑块到达圆心O等高的C点时的速度及轨道对小滑块的弹力大小．
（2）若改变s的大小，使滑块沿圆弧轨道滑行时不脱离圆弧轨道，求s的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出滑块的速度；由牛顿第二定律求出滑块受到的作用力．
（2）将重力和电场力合成的合力等效为“等效重力”，然后结合动能定理列式求解；注意滑块不离开轨道有两种可能，即以原路返回或者从最高点飞出．

解答 解：（1）设滑块到达C点时的速度为v，由动能定理有
Eq（s+R）-μmgs-mgR=$\frac{1}{2}$mv²-0，
又因为 Eq=$\frac{3}{4}$mg，
联立两式解得：v=$\sqrt{gR}$；
设滑块到达C点时受到轨道的作用力大小为F，则F-Eq=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
又因为 Eq=$\frac{3}{4}$mg，
解得：F=$\frac{7}{4}$mg
（2）将重力和电场力合成，合力为：
F_合=$\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}$=$\frac{5}{4}mg$
与竖直方向夹角的正切值：
tanθ=$\frac{qE}{mg}=\frac{3}{4}$
故θ=37°；

将电场力和重力的合力等效成“等效重力”，故等效最低点为F，等效最高点为H，如图所示；
滑块不离开轨道有两种可能，一种是最高到I点，另一种是最高到H点；
①如果最高到I点，根据动能定理，有：
qE（S+Rcos37°）-μmgS-mg（R+Rsin37°）=0
解得：
S=4.6R
②如果在等效场中最高到H点，则根据动能定理，有：
qE（S-Rsin37°）-μmgS-mg（R+Rcos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{H}^{2}-0$
在H点，合力提供向心力，故：
F_合=$\frac{5}{4}mg$=m$\frac{{v}_{H}^{2}}{R}$ 
联立解得：
S=14R
故使滑块沿圆弧轨道滑行时不脱离圆弧轨道的s的取值范围：S≤4.6R或S≥14R；
答：（1）滑块到达圆心O等高的C点时的速度为$\sqrt{gR}$，轨道对小滑块的弹力大小为$\frac{7}{4}$mg．
（2）S的取值范围为：S≤4.6R或S≥14R．

点评 本题关键是明确滑块的受力情况和运动情况，要结合动能定理、牛顿第二定律和向心力公式列式分析，注意第二问要分情况讨论．