Question

（2006?重庆）某研究性学习小组用如图所示的装置来选择密度相同、大小不同的球状纳米粒子．密度相同的粒子在电离室中被电离后带正电，电量与其表面积成正比．电离后粒子缓慢通过小孔O₁进入极板间电压为U的水平加速电场区域I，再通过小孔O₂射入相互正交的恒定匀强电场和匀强磁场区域II，其中磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外．收集室的小孔O₃与O₁、O₂在同一条水平线上．实验发现：半径为r₀的粒子，其质量为m₀、电量为q₀，刚好能沿O₁O₃直线射入收集室．不计纳米粒子重力和粒子之间的相互作用力．（球形体积和球形面积公式分别为V_球=

4

3

πr³，S_球=4πr²）．求：

（1）图中区域II的电场强度E；
（2）半径为r的粒子通过O₂时的速率v；
（3）试讨论半径r≠r₀的粒子进入区域II后将向哪个极板偏转．

Answer 1

分析：（1）带电粒子在电场中被加速，当进入区域II内做匀速直线运动，因而根据动能定理可求出被加速的速度大小，再由洛伦兹力等于电场力，从而确定电场强度的大小与方向；
（2）根据密度相同，可确定质量与半径立方关系；根据题意，可知电量与半径平方关系．从而由动能定理可算出粒子通过O₂时的速率；
（3）由半径的不同，导致速度大小不一，从而出现洛伦兹力与电场力不等现象，根据其力大小确定向哪个极板偏转．

解答：解　（1）设半径为r₀的粒子加速后的速度为v₀，则

1

2

m0

v

2 0

=q0U
解得：v0=

2q0U m0

设区域II内电场强度为E，则
洛伦兹力等于电场力，即v₀ q₀B=q₀E 
解得：E=Bv0=B

2q0U m0

电场强度方向竖直向上．                               
（2）设半径为r的粒子的质量为m、带电量为q、被加速后的速度为v，
则m=(

r

r0

)3m0
 而q=(

r

r0

)2q0
  由　

1

2

mv2=qU
解得：v=

2q0Ur0 m0r

=

r0 r

v0                     
（3）半径为r的粒子，在刚进入区域II时受到合力
为F_合=qE-qvB=qB（v₀-v）
由v=

r0 r

v0可知，
当r＞r₀时，v＜v₀，F_合＞0，粒子会向上极板偏转；
当r＜r₀时，v＞v₀，F_合＜0，粒子会向下极板偏转． 
答：（1）图中区域II的电场强度B

2q0U m0

；
（2）半径为r的粒子通过O₂时的速率

r0 r

v0；
（3）由v=

r0 r

v0可知，
当r＞r₀时，v＜v₀，F_合＞0，粒子会向上极板偏转；
当r＜r₀时，v＞v₀，F_合＜0，粒子会向下极板偏转．

点评：本题考查运用动能定理求带电粒子在电场中加速后的速度大小，再洛伦兹力与电场力关系来确定偏向何处．同时注意紧扣题意密度相同及电量与表面积成正比等隐含条件．