Question

10．电路如图所示，电源电动势E=28V，R₁=12Ω，R₂=R₄=4Ω，R₃=8Ω，r=2Ω．C为平行板电容器，其电容C=3.0pF，虚线到两极板距离相等，极板长L=0.20m，两极板的间距d=1.0×10^-2m．

（1）求开关S从断开状态，调到闭合状态的过程中，流过R₄的电量为多少？
（2）开关S断开时，质量均为m=8×10^-22kg、带电量均为8×10^-16的正负两粒子，由电容器上下边界的a、c两点，先后沿ab和cd方向以速率v₀进入电容器（两粒子不同时出现在电场中）．不计重力．若两粒子轨迹恰好相切，求粒子的速率进入电场的速率v₀．

Answer 1

分析 （1）当开关S断开时，电容器的电压等于电阻R₃两端的电压，根据欧姆定律及串联电路电压的分配关系，利用比例法电容器的电压和电量．当S闭合后，电阻R₂与R₃串联后再与R₁并联，电容器的电压等于电阻R₃两端的电压，求出电容器的电量，再求出电容器电量的变化量，即为流过R₄的总电量．
（2）在匀强电场中，两个质量相同、带电量大小相同的正负粒子在一矩形的对角顶点以方向相反、大小相等的速度进入矩形，轨迹恰好相切，由此可知两粒子的运动轨迹完全对称，且相切点是矩形的几何中心．不计重力，则粒子做类平抛运动．

解答 解：
（1）S断开时，电阻R₃两端电压为U₃=$\frac{{R}_{3}}{{R}_{3}+{R}_{2}+r}E=16V$
S闭合后，外阻为R=$\frac{{R}_{1}（{R}_{2}+{R}_{3}）}{{R}_{1}+{R}_{2}+{R}_{3}}$=6Ω
路端电压为U=$\frac{R}{R+r}E$=21V
电阻R₃两端电压为U₃′=$\frac{{R}_{3}}{{R}_{2}+{R}_{3}}U$=14V
则流过R₄的总电量为△Q=CU₃-CU₃′=6×10^-12C
（2）开关断开时，电压为16V；由于正负粒子的质量、电荷量大小、运动初速度大小均相等，且粒子仅在电场的作用下运动，所以可知粒子做类平抛运动，且运动轨迹形状相同，相切点为矩形的几何中心．
由类平抛运动的关系可得：
竖直方向：$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{U}_{3}}{m}$t²=$\frac{d}{2}$，
水平方向：v₀t=$\frac{L}{2}$，
解得t=$\sqrt{\frac{dm}{qE}}$，
则v₀=$\frac{L}{2}$$\sqrt{\frac{dm}{qE}}$=$\frac{0.2}{2}$×$\sqrt{\frac{8×1{0}^{-16}×16}{1×1{0}^{-2}×8×1{0}^{-22}}}$=4×10³m/s；
答：（1）流过R₄的电量为6×10^-12C
（2）粒子的速率进入电场的速率为4×10³m/s；

点评 本题考查了粒子在匀强电场中的运动，解题的关键是知道该题条件下的正负粒子的运动轨迹完全对称，且它们做的运动是类平抛运动，由类平抛运动的关系列式即可求解．同时含容电路，关键是确定电容两端的电压，当电路稳定时，电容器的电压等于与之并联的电路的电压，也等于所在电路两端的电压．