Question

8．如图所示，AB和CDO都是处于竖直平面内的光滑圆弧形轨道，OA处于水平位置，AB是半径为R=2m的$\frac{1}{4}$圆周轨道，CDO是半径为r=1m的半圆轨道，最高点O处固定一个竖直弹性档板．D为CDO轨道的中点．BC段是水平粗糙轨道，与圆弧形轨道平滑连接．已知BC段水平轨道长L=2m，与小球之间的动摩擦因数μ=0.4．现让一个质量为m=1kg的小球P从A点的正上方距水平线OA高H处自由落下．（取g=10m/s²）
（1）当H=1.4m时，问此球第一次到达D点对轨道的压力大小．
（2）当H=1.4m时，试通过计算判断此球是否会脱离CDO轨道．如果会脱离轨道，求脱离前球在水平轨道经过的路程．如果不会脱离轨道，求静止前球在水平轨道经过的路程．
（3）为使小球仅仅与弹性板碰撞二次，且小球不会脱离CDO轨道，问H的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先对从P到D过程根据动能定理列式求解D点速度，然后由支持力提供向心力列式求解支持力．
（2）先判断能够第一次到达O点，第二次来到D点是沿着原路返回，然后判断能否第三次到达D点，最后对全程根据动能定理列式求解总路程．
（3）先判断出小球能够发生第二次碰撞的条件，然后判断出小球仅仅能发生第二次碰撞，而满足不会离开CDO轨道的条件，综合即可．

解答 解：（1）设小球第一次到达D的速度V_D，P到D点的过程对小球根据动能定理列式，有：
mg（H+r）-μmgL=$\frac{1}{2}$mV_D²
在D点对小球列牛顿第二定律：F_N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$    
联立解得：F_N=32N   
（2）第一次来到O点，速度V₁，P到O点的过程对小球根据动能定理列式，有：
mgH-μmgL=$\frac{1}{2}$mV₁²
解得：V₁²=12
要能通过O点，须mg＜m$\frac{{v}^{2}}{r}$
临界速度V_O²=10
故第一次来到O点之前没有脱离，第二次来到D点是沿着原路返回，设第三次来到D点的动能E_K
对之前的过程根据动能定理列式，有：
mg（H+r）-3μmgL=E_K
代入解得：E_K=0
故小球一直没有脱离CDO轨道
设此球静止前在水平轨道经过的路程S
对全过程根据动能定理列式，有：
mg（H+R）-μmgS=0
解得：S=8.5m
（3）为使小球与挡板碰撞第二次，需满足：$mgH-3μmgL≥\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据解得：H≥2.9m
为使小球与仅仅挡板碰撞二次，且小球不会脱离CDO轨道，需满足：
mg（H+r）-5μmgL≤0
代入数据解得：H≤3m
故：2.9m≤H≤3.0m
答：（1）当H=1.4m时，此球第一次到达D点对轨道的压力大小为32N．
（2）当H=1.4m时，此球不会脱离CDO轨道，静止前球在水平轨道经过的路程为8.5m．
（3）为使小球仅仅与弹性板碰撞二次，且小球不会脱离CDO轨道，H需满足：2.9m≤H≤3.0m

点评 本题关键是结合动能定理和向心力公式判断物体的运动情况，注意临界点D和Q位置的判断．