Question

物块A与竖直轻弹簧相连，放在水平地面上，一个物块B由距弹簧上端O点H高处自由落下，落到弹簧上端后将弹簧压缩．为了研究物块B下落的速度随时间变化的规律和物块A对地面的压力随时间变化的规律，某位同学在物块A的正下方放置一个压力传感器，测量物块A对地面的压力，在物块B的正上方放置一个速度传感器，测量物块B下落的速度．在实验中测得：物块A对地面的最小压力为P₁，当物块B有最大速度时，物块A对地面的压力为P₂．已知弹簧的劲度系数为k，物块B的最大速度为v，重力加速度为g，不计弹簧的质量．
（1）物块A的质量．
（2）物块B在压缩弹簧开始直到B达到最大速度的过程中，它对弹簧做的功．
（3）若用T表示物块B的速度由v减到零所用的时间，用P₃表示物块A对地面的最大压力，试推测：物块的速度由v减到零的过程中，物块A对地面的压力P随时间t变化的规律可能是下列函数中的______（要求说明推测的依据）
A．P=P₂+（P₃-P₂）

t

T

B．P=P₁+（P₃-P₁）

t

T

C．P=P₂+（P₃-P₂）

πt

2T

D．P=P₁+（P₃-P₁）

πt

2T

．

Answer 1

（1）物块B没有落到弹簧上时，物块A对地面的压力为最小压力，设此时物块A受重力为m_Ag，物块受m_Ag和地面的支持力处于平衡，故：P₁=m_Ag
所以物块A的质量：m_A=

p1

g

①
（2）物块B落到弹簧上，将弹簧压缩，当物块B的重力等于弹簧的弹力，物块B有最大速度．设物块B的质量为m_Bg，有最大速度时弹簧压缩量为x₁，则：
kx₁=m_Bg②即弹簧产生的弹力为m_Bg
此时，由物块A受弹簧的压力、重力和地面的支持力处于平衡，则有：P₂=m_Ag+m_Bg③
物块B由静止开始落下，到达最大速度的过程中，重力做功m_Bg（H+x₁），设克服弹簧的弹力做功W，根据动能定理，有：

1

2

mv²=m_Bg（H+x₁）-W④
将①②③式代人④式，得物块B对弹簧做功W=（P₂-P₁）（H-

p2-p1

k

）-

(p2-p1)mv2

2g

（3）应为C
物块B与弹簧接触后，在重力和弹力作用下，在竖直方向上做简谐运动，周期为4T．物块A对地面的压力大小P等于A的重力与弹簧的弹力之和．则P随时间变化的关系只可是正弦函数，AB选项都不正确．当t=0时，压P=P₂；当t=T时，压力最大为P₃．只有选项C正确．
另物块B与弹簧接触后，在重力和弹力作用下，在竖直方向上做简谐运动．其平衡位置在物块B具有最大速度处，设平衡位置为0′，建立O′x坐标系，以竖直向下为正方向，有
m_Bg-F_弹=-kx⑤
物块B做简谐运动的周期为4T，在速度由最大变到零的四分之一周期内，设最大位移为x_m，振动位移为
x=x_msin（

πt

2T

）⑥F_弹=m_Bg+kx_msin（

πt

2T

）
物块A对地面的压力为P=m_Ag+m_Bg+kx_msin（

πt

2T

）
代人③式得P=P₂+（P₃-P₂）

πt

2T

⑦
当t=T时，压力最大为P₃，即P₃=P₂+kx_msin（

πt

2T

）得：kx_mn=P₃-P₂
压力P随时间t变化的规律为P=P₂+（P₃-P₂）

πt

2T

答：（1）A的质量为

p1

g

（2）B在压缩弹簧开始直到B达到最大速度的过程中，它对弹簧做的功为（P₂-P₁）（H-

p2-p1

k

）-

(p2-p1)mv2

2g

（3）选C