Question

如图所示一个摆长为L=10/π²米的单摆，摆球质量为m=0.1千克，静止于平衡位置．另有质量均为m=0.1千克的小球n个与摆球在同一高度且在同一直线上，以相同的速度v=4米每秒向左运动，相邻两小球到达摆球平衡位置的时间间隔是1秒钟．每一个小球与摆球相撞后都和摆球粘在一起共同运动．（摆球和小球均视为质点，g=10m/s²）
求：（1）摆球摆动的最大高度
（2）第8个小球与摆球相撞后，摆球的速度
（3）第n个小球与摆球相撞后单摆获得的动能．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据单摆的周期公式，代入数据，求出周期，并根据动量守恒定律，与能量守恒相结合，即可求解；
（2）根据动量守恒定律，从而可得出结论；
（3）对第n个小球与摆球相撞后，运用动量守恒定律，并通过动能表达，即可求解．
解答：解：单摆的周期：T=2π=2π s=2s
摆球碰撞后再回到平衡位置的时间是1s，每次摆球回到平衡位置时跟下一个小球碰撞
（1）第一个小球碰撞后
动量守恒定律，mv=2mv₁     
则有v₁=
以后的小球与摆球碰撞后由于质量的增加速度逐渐减小，所以摆球摆动的最大高度是第一个小球碰撞后
2mgh=2×mv₁²
解得：h=0.2m
（2）第二个小球与摆球碰撞后
动量守恒定律，2mv₁-mv=3mv₂    v₂=0  即碰后摆球静止
同理：第3、5、7、9…个小球碰后，摆球摆动；
第2、4、6、8…个小球碰后摆球静止
所以，第8个小球与摆球相撞后，摆球的速度是零  v₈=0
（3）第n个小球与摆球相撞后
若n为奇数：则v_n-1=0
动量守恒定律，mv=（n+1）mv_n  
解得：v_n=
此时单摆的动能：E_k=（n+1）mv_n²=mv²（n+1）=J
若n为偶数：则：v_n=0 单摆获得的动能为零
答：（1）摆球摆动的最大高度为0.2m；
（2）第8个小球与摆球相撞后，摆球的速度为0；
（3）第n个小球与摆球相撞后单摆获得的动能为J．
点评：考查单摆周期公式的应用，涉及动量守恒定律、能量守恒定律、及动能表达式，并掌握动量守恒定律的条件判定，同时注意其矢量性．