Question

（2013?黑龙江模拟）宇航员驾驶宇宙飞船到达月球表面，关闭动力，飞船在近月圆形轨道绕月运行的周期为T；接着，宇航员调整飞船动力，安全着陆，宇航员在月球表面离地某一高度处将一小球以初速度v₀水平抛出，其水平射程为s．已知月球的半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）月球的质量M；
（2）小球开始抛出时离地的高度；
（3）小球落地时重力的瞬时功率．

Answer 1

分析：1、飞船绕月近地运行，月球对飞船的万有引力提供向心力G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R，化简可得月球的质量M．
2、在月球表面重力提供向心力，求出月球表面重力加速度，再根据平抛运动的规律，分别在水平方向上和竖直方向上列出位移与时间的关系，消去时间，即可解高度．
3、根据重力做功的功率P=mgv_y，要注意重力乘以竖直方向上的速度，竖直方向上的速度为v_y=gt．

解答：解：（1）飞船绕月近地运行，月球对飞船的万有引力提供向心力，有：
G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R
解得：月球的质量M=

4π2R3

GT2

．
（2）小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，有：s=v₀t
竖直方向做自由落体运动，有：h=

1

2

gt2
在月球表面，小球受到月球的万有一你近似等于重力，有：
G

Mm

R2

=mg=m

4π2

T2

R
月球表面的重力加速度g=

4π2R

T2

小球开始抛出时离地的高度h=

2π2Rs2

T2v02

（3）小球落地时速度在竖直方向的分量v_y=gt
小球落地时重力的瞬时功率P=mgvy=

16π4msR2

T4v0

答：（1）月球的质量M为

4π2R3

T2

；
（2）小球开始抛出时离地的高度为

2π2Rs2

T2v02

；
（3）小球落地时重力的瞬时功率

16π4msR2

T4v0

．

点评：本题主要考查万有引力提供向心力这个关系和平抛运动恶规律，在计算重力的功率时要特别注意，重力乘以竖直方向上的速度，而不是乘以速度．