Question

如图所示，M、N、P为很长的平行边界面，M与N和M与P间的间距分别为l₁、l₂，其间有方向都垂直于纸面向里匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小分别为B₁和B₂，且B₁≠B₂，有一带正电的电量为q、质量为m的粒子，以某一初速度既垂直磁场边界N又垂直于磁场方向射入MN间的磁场区域．不计粒子的重力．求：
（1）要使粒子能穿过磁场区域Ⅰ进入磁场区域Ⅱ，粒子的初速度υ₀至少应为多少？
（2）若粒子进入磁场区域Ⅰ的初速度υ₁=

2qB1

m

，则粒子第一次穿过磁场区域Ⅰ的时间t₁是多少？
（3）当粒子初速度υ为多少时，粒子才能恰好穿过两个磁场区域．

Answer 1

分析：（1）恰好能进入Ⅱ磁场时速度恰好沿M边界，则可确定运动的半径，再由牛顿第二定律，结合向心力表达式，即可求解；
（2）根据牛顿第二定律，结合运动圆弧对应的圆心角，即可求解；
（3）粒子在磁场B₂中的运动轨迹恰好与P边界相切，根据牛顿第二定律，结合几何关系，即可求解．

解答：解：（1）设粒子速度大小为υ₀时恰好能进入Ⅱ磁场，则进入Ⅱ磁场时速度恰好沿M边界，所以半径为：
r=l₁           
由qυ₀B=m

v 2 0

l1

       
得：υ₀=

qBl1

m

      
（2）粒子在磁场中运动由qυ₁B=m

v 2 1

r1

   
得：r₁=2l₁     
所以，粒子在Ⅰ磁场中作匀速圆周运动对应的圆心角为：α=

π

6

   
第一次穿过Ⅰ磁场的时间为：t₁=

T

l2

=

πm

6B1q

     
（3）设粒子速度为υ时，粒子在磁场B₂中的运动轨迹恰好与P边界相切，轨迹如图，
 
由qυB=m

υ2

R

 
得到：R₁=

mv

qB1

     
 R₂=

mv

qB2

      
又sinθ=

l1

R1

=

qB1l1

mv1

    
粒子在B₂中运动时有：R₂-R₂sinθ=l₂    
联立解得：υ=

qB1l1+qB2l2

m

．
答：（1）要使粒子能穿过磁场区域Ⅰ进入磁场区域Ⅱ，粒子的初速度υ₀至少应为υ₀=

qBl1

m

；
（2）若粒子进入磁场区域Ⅰ的初速度υ₁=

2qB1

m

，则粒子第一次穿过磁场区域Ⅰ的时间t₁是=

πm

6B1q

；
（3）当粒子初速度υ为

qB1l1+qB2l2

m

时，粒子才能恰好穿过两个磁场区域．

点评：考查牛顿第二定律与向心力综合应用，掌握运动的周期半径与求解运动的时间的方法，注意画出正确的运动轨迹与几何关系的运用．