Question

（25分）从赤道上的 C 点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点 N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体，R＝6400 km。已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为

式中 M 为地球质量，G 为引力常量。

1. 假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与地心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示）。

2. 若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？

3. 试导出  。

Answer 1

参考解答：

1. 这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引力作用下，将沿椭圆轨道运动，如果导弹能打到 N 点，则此椭圆一定位于过地心 O、北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的平面（此平面是 C 点所在的子午面）内，因此导弹的发射速度（初速度 v ）必须也在此平面内，地心 O 是椭圆的一个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等，故所考察椭圆的长轴是过 O 点垂直 CN 的的直线，即图上的直线 AB，椭圆的另一焦点必在 AB 上。已知质量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量 E（无穷远作为引力势能的零点）与椭圆半长轴 a 的关系为

（1）

要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴 a 最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为 2a，现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值，等于地球的半径是 R，只要位于长轴上的另一焦点到 C 的距离最小，该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足处时，C 到该焦点的距离必最小。由几何关系可知

（2）

设发射时导弹的速度为 v，则有

（3）

解（1）、（2）、（3）式得

（4）

因

　（5）

比较（4）、（5）两式得

（6）

代入有关数据得

v＝7.2 km/s 　（7）

速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切，根据解析几何知识，从椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角 ∠OCP，从图中可看出，速度方向与 OC 的夹角

　（8）

2. 由于地球绕通过 ON 的轴自转，在赤道上 C 点相对地心的速度为

　（9）

式中 R 是地球的半径，T 为地球自转的周期，T＝24×3600 s＝86400 s，故

　（10）

C 点速度的方向垂直于子午面（图中纸面）。位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度 v_C，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足（7）、（8）两式的要求，导弹相当于地面（ C 点）的发射速度应有一大小等于 v_C，方向与 v_C 相反的分速度，以使导弹在此方向相当于地心的速度为零，导弹的速度的大小为

（11）

代入有关数据得

v′＝7.4 km/s （12）

它在赤道面内的分速度与 v_C 相反，它在子午面内的分速度满足（7）、（8）两式。

3. 质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对于近地点和远地点有下列关系式

　（13）

（14）

式中 v₁、v₂ 分别为物体在远地点和近地点的速度，r₁、r₂ 为远地点和近地点到地心的距离。将（14）式中的 v₁ 代入（13）式，经整理得

　（15）

注意到

r₁＋r₂＝2a 　（16）

得

（17）

因

（18）

有（16）、（17）、（18）式得

（19）