Question

20．如图所示，有一条沿顺时针方向匀速传送的传送带，恒定速度v=4m/s，传送带与水平面的夹角θ=37°，现将质量m=1kg的小物块轻放在其底端（小物块可视作质点），与此同时，给小物块沿传送带方向向上的恒力F=10N，经过一段时间，小物块上到了离地面高为h=2.4m的平台上．已知物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5，（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）． 问：
（1）物块速度由0增加到v=4m/s所用的时间？
（2）若恒力F作用1s后，小物块能否滑上平台？若不能，请说明理由．若能，求小物块离开传送带时的速度多大？

Answer 1

分析 （1）先假设传送带足够长，对滑块受力分析，根据牛顿第二定律求解出加速度，然后运用运动学公式求解出加速的位移和时间，根据位移判断是否有第二个过程，当速度等于传送带速度后，通过受力分析，可以得出物体恰好匀速上滑，最后得到总时间；
（2）若在物品与传送带达到同速瞬间撤去恒力F，先受力分析，根据牛顿第二定律求出加速度，然后根据运动学公式列式求解．

解答 解：（1）物品在达到与传送带速度v=4m/s相等前，有：
F+μmgcos37°-mgsin37°=ma₁
解得：a₁=8m/s²
由v=a₁t₁，
t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{4}{8}s=0.5s$
（2）恒力作用0.5s内，小物块位移：x=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{{4}^{2}}{2×8}m$=1m．
随后摩擦力变向，有：F-μmgcos37°-mgsin37°=ma₂
解得a₂=0，即滑块匀速上滑
在0.5s～1.0s内上升的位移：x′=vt₂=4×0.5m=2m
撤掉外力后，物体所受摩擦力沿传送带向上，物体做减速运动，加速度为：
${a}_{3}=\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}=-2m{/s}^{2}$
假设传送带足够长，物块减速到零再次通过的位移为：x″=$\frac{{-v}^{2}}{{2a}_{3}}=\frac{{-4}^{2}}{-2×2}m=4m$
故物体总共沿传送带上升的距离为：s=x+x′+x″=1+2+4=7m
上升高度为：h=ssin37°=7×0.6m=4.2m＞2.4m
故小物块能滑上平台，由题意知，传送带的向上的长度为：s$′=\frac{h}{sin37°}=\frac{2.4}{0.6}m=4m$
由匀变速运动规律得，小物块离开传送带时的速度为v′满足：
s$′-x-x′=\frac{{v′}^{2}{-v}^{2}}{{2a}_{3}}$
代入数据得：v$′=2\sqrt{3}m/s$
答：（1）物块速度由0增加到v=4m/s所用的时间为0.5s；
（2）恒力F作用1s后，小物块能滑上平台，若不能，小物块离开传送带时的速度为$2\sqrt{3}m/s$．

点评 本题关键是受力分析后，根据牛顿第二定律求解出加速度，然后根据运动学公式列式求解．