Question

【题目】央视《加油向未来》节目组曾经做过一个实验，如图1所示，高为h的分别是由铜、铝和不锈钢做成的三个竖直轨道A、B、C垂直立在水平地面上，轨道的形状、横截面积都相同，所用金属的相关参数如下表。节目组让3个相同的内部都固定了相同强磁体的木制小车分别从A、B、C三个轨道上端同时由静止释放，小车运动时不与轨道发生摩擦，空气阻力忽略不计。3个相同的小车及固定磁铁的总质量均为m。

(1)请在如图2的坐标系中画出小车由静止释放沿A轨道运动直到落地的v—t图像；

(2)请根据题目信息判断沿哪个轨道运动的小车最先到达地面，并定性说明理由；

(3)假如A轨道的小车最后稳定下落的速度为v0，求该小车达到稳定速度后铜轨道的热功率P0；

(4)轨道之所以发热是因为金属有电阻。经典物理学认为：金属的电阻源于定向运动的自由电子和金属离子（即金属原子失去电子后剩余的那部分）的碰撞。在外加电场下自由电子做定向移动的过程中要不断与金属离子发生碰撞，将其动能全都交给金属离子，然后在电场的作用下重新开始加速运动一段距离后，再与金属离子发生碰撞。经加速运动电子在两次碰撞之间走的平均距离叫自由程，用L表示。某金属单位体积内自由电子数为n，电子的质量为m，电子的电荷量为e。电子在该金属一个自由程的运动时间为t。

a．假设电子每段自由程中都沿电流方向做匀加速直线运动，求该金属的电阻率；

b．如果在考虑大量电子的统计效果时，不考虑每个电子断断续续地碰撞，而着眼于实际运动的平均结果，可等效为电子在金属中匀速直线运动，而金属给电子以持续的摩擦阻力，该摩擦阻力的大小与电子平均速度成正比，求其摩擦因数为k。

金属	温度（°C）	密度（）	电阻率（）	硬度 （金刚石硬度为10）
铜	20	8．9	1．7	2．8
铝	20	2．7	2．9	2．6
不锈钢	20	7．8	10．0	4．6

Answer 1

【答案】(1)；(2)见解析；(3)；(4)a.；b.

【解析】

(1)如图所示

(2)沿C（不锈钢）轨道的小车最先到达地面。强磁铁相对金属导体运动，由电磁感应定律和楞次定律可知，在金属中要产生感应电流（涡流），该感应电流将对强磁铁的小车产生阻力作用，小车将克服该阻力将部分机械能转化为电能。由于三辆小车最初的机械能相同，而这三种金属中铜的电阻率最小，在相同条件下铜轨道的电阻也最小，感应电流最大，阻碍最强，机械能转化为电能的功率最大，将最晚落到地面；而不锈钢轨道的电阻率最大，其感应电流最小，阻碍最弱，机械能转化为电能的功率最小，将最先落到地面。

(3)小车稳定（匀速）下落过程中，可认为减少的重力势能全部转化为铜轨道的热能，即

变形可得

(4)金属中电子定向移动的平均速度为

电流强度的微观表达式为

电子在自由程内加速，由动能定理

电子匀加速直线运动，则有

由欧姆定律可得

由电阻定律可得

联立解得

设自由程内总得电荷数为N，电场力做功功率等于克服阻力做功的功率，即

由题意可知

联立解得