Question

【题目】如图所示为研学小组的同学们用圆锥摆验证向心力表达式的实验情景。将一轻细线上端固定在铁架台上，下端悬挂一个质量为m的小球，将画有几个同心圆周的白纸置于悬点下方的水平平台上，调节细线的长度使小球自然下垂静止时恰好位于圆心处。手带动小球运动使它在放手后恰能在纸面上方沿某个画好的圆周做匀速圆周运动。调节平台的高度，使纸面贴近小球但不接触。

(1)若忽略小球运动中受到的阻力，在具体的计算中可将小球视为质点，重力加速度为g；

①从受力情况看，小球做匀速圆周运动所受的向心力是____________（选填选项前的字母）；

A．小球所受绳子的拉力

B．小球所受的重力

C．小球所受拉力和重力的合力

②在某次实验中，小球沿半径为r的圆做匀速圆周运动，用秒表记录了小球运动n圈的总时间t，则小球做此圆周运动的向心力大小Fn=____________（用m、n、t、r及相关的常量表示）。用刻度尺测得细线上端悬挂点到画有圆周纸面的竖直高度为h，那么对小球进行受力分析可知，小球做此圆周运动所受的合力大小F=____________（用m、h、r及相关的常量表示）；

③保持n的取值不变，改变h和r进行多次实验，可获取不同时间t。研学小组的同学们想用图像来处理多组实验数据，进而验证小球在做匀速圆周运动过程中，小球所受的合力F与向心力Fn大小相等。为了直观，应合理选择坐标轴的相关变量，使待验证关系是线性关系。为此不同的组员尝试选择了不同变量并预测猜想了如图所示的图像，若小球所受的合力F与向心力Fn大小相等，则这些图像中合理的是__________（选填选项的字母）；

(2)考虑到实验的环境、测量条件等实际因素，对于这个实验的操作，下列说法中正确的是_________（选填选项前的字母）；

A．相同体积的小球，选择密度大一些的球可以减小空气阻力对实验的影响

B．相同质量的小球，选择体积小一些的球有利于确定其圆周运动的半径

C．测量多个周期的总时间再求周期的平均值，有利于减小周期测量的偶然误差

D．在这个实验中必须测量出小球的质量

(3)上述实验中小球运动起来后撤掉平台，由于实际实验过程中存在空气阻力的影响，所以持续观察会发现小球做圆周运动的半径越来越小，经过足够长时间后，小球会停止在悬点正下方。若小球在运动中每转动一周的时间内半径变化均可忽略，即每一周都可视为匀速圆周运动。请分析说明在小球做上述圆周运动的过程中，随着细绳与竖直方向的夹角不断减小，小球做圆周运动的周期是如何变化的_______；

(4)小明同学认为:在摆角较小的条件下，单摆的周期和圆周摆的周期可以认为相等，请推导证明小明的观点是否成立________。

Answer 1

【答案】C B ABC 周期变大 成立

【解析】

（1）①[1]小球受重力和细线的拉力作用，则小球做圆周运动的向心力由重力和细线拉力的合力提供，故选C；

②[2][3]小球做半径为r的圆周运动的周期为

则向心力

小球所受的合力为

③[4]设小球做半径为r的圆周运动的周期为

此时小球距细线上端固定点的竖直高度为h，根据合外力等于向心力有

可得

故选B。

（2）[5]A．相同体积的小球，选择密度大一些的球可以减小空气阻力对实验的影响，选项A正确；

B．相同质量的小球，选择体积小一些的球有利于确定其圆心的位置，从而容易确定其圆周运动的半径，选项B正确；

C．测量多个周期的总时间再求周期的平均值，有利于减小周期测量的偶然误差，选项 C正确；

D．由③的分析可知，当合外力等于向心力时，小球的质量可以消掉，则在这个实验中不需测量出小球的质量，选项D错误。

故选ABC。

（3）[6]设小球做半径为r的圆周运动的周期为T，此时小球距细线上端固定点的竖直高度为h，根据合外力等于向心力有

可解得

因半径变小，绳长不变，h变大，故小球周期变大。

（4）[7]成立；圆锥摆的周期根据

得

夹角较小，cosθ≈1则

即此时单摆的周期和圆周摆的周期可以认为相等。