Question

11．如图所示，相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置，s₁，s₂分别为M、N板上的小孔，s₁、s₂、O三点共线，它们的连线垂直M、N，且s₂O=R．以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场．D为收集板，板上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为2R，板两端点的连线垂直M、N板．质量为m，带电量为+q的粒子，经s₁进入M、N间的电场后，通过s₂进入磁场．粒子在s₁处的速度和粒子所受的重力均不计．
（1）当M、N间的电压为U时，求粒子进入磁场时速度的大小v；
（2）若粒子恰好打在收集板D的中点上，求M、N间的电压值U₀；
（3）当M，N间的电压不同时，粒子从s₁到打在D上经历的时间t会不同，求打在D上经历的时间的范围．

Answer 1

分析 （1）粒子从s₁到达s₂的过程中，电场力做功W=qU，根据动能定理求出粒子进入磁场时速度的大小υ．
（2）粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，粒子恰好打在收集板D的中点上时，在磁场中运动$\frac{1}{4}$圆弧，轨迹半径等于R，根据牛顿第二定律和动能定理求解M、N间的电压．
（3）粒子从s₁到打在D上经历的时间t等于在电场中运动时间、磁场中运动时间和穿出磁场后匀速直线运动的时间之和．M、N间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，在极板间经历的时间越短，同时在磁场中运动轨迹的半径越大，在磁场中粒子磁场偏转角度越小，运动的时间也会越短，出磁场后匀速运动的时间也越短，故当粒子打在收集板D的右端时，对应时间t最短．根据几何知识求出打在D的右端时轨迹半径，根据前面的结果求出粒子进入磁场时的速度大小，运用运动学公式求出三段时间．

解答 解：（1）根据动能定理：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得：$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）若粒子恰好打在收集板D的中点，由几何关系得：粒子在磁场中做圆周运动的半径为：r=R
由：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
结合（1）得：${U}_{0}=\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$
（3）若粒子打在收集板的最左端，由几何关系得粒子在磁场中做圆周运动的半径为
${r}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}R$ 
转过的圆心角${θ}_{1}=\frac{2}{3}π$
设此时对应的速度v₁，$q{v}_{1}B=\frac{m{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
粒子从s₁到打在D板上经历的时间${t}_{1}=\frac{2R}{{v}_{1}}+\frac{{θ}_{1}}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{2m}{3qB}（3\sqrt{3}+π）$
若粒子打在收集板的最右端，由几何关系得粒子在磁场中做圆周运动的半径为：${r}_{2}=\sqrt{3}$R
 转过的圆心角${θ}_{2}=\frac{1}{3}π$
设此时对应的速度v₂，$q{v}_{2}B=\frac{m{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
粒子从s₁到打在D板上经历的时间${t}_{2}=\frac{2R}{{v}_{2}}+\frac{{θ}_{2}}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{m}{3qB}（2\sqrt{3}+π）$
即打在收集板D上经历的时间范围：$\frac{m}{3qB}（2\sqrt{3}+π）≤t≤\frac{2m}{3qB}（3\sqrt{3}+π）$
答：（1）当M、N间的电压为U时，粒子进入磁场时速度的大小是$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）若粒子恰好打在收集板D的中点上，M、N间的电压值是$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$；
（3）当M，N间的电压不同时，粒子从s₁到打在D上经历的时间t会不同，打在D上经历的时间的范围$\frac{m}{3qB}（2\sqrt{3}+π）≤t≤\frac{2m}{3qB}（3\sqrt{3}+π）$．

点评 本题考查分析和处理粒子在磁场中运动的轨迹问题，难点在于分析时间的最小值，也可以运用极限分析法分析．