Question

（2013?日照一模）如图所示，在直角坐标系xoy的第一、四象限区域内存在两个有界的匀强磁场：垂直纸面向外的匀强磁场I、垂直纸面向里的匀强磁场II，O、M、P、Q为磁场边界和x轴的交点OM=MP=L．在第三象限存在沿y轴正向的匀强电场．一质量为m、带电荷量为+q的粒子从电场中坐标为（-2L，-L）的点以速度υ₀沿+x方向射出，恰好经过原点O处射入区域I又从M点射出区域I（粒子的重力忽略不计）．
（1）求第三象限匀强电场场强E的大小；
（2）求区域I内匀强磁场磁感应强度B的大小；
（3）如带电粒子能再次回到原点O，问区域II内磁场的宽度至少为多少？粒子两次经过原点O的时间间隔为多少？

Answer 1

分析：（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，运用运动的分解法，由牛顿第二定律和运动学公式求解场强E的大小；
（2）带电粒子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动．由题意，粒子经过原点O处射入区域I又从M点射出区域I，画出轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律即可求得磁感应强度B的大小；
（3）当带电粒子恰好能再次回到原点O，在磁场Ⅱ中轨迹恰好与其右边界相切，画出轨迹，由几何关系即可求出磁场的宽度．分段求出时间，即可求得总时间．

解答：解：（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，则有
   水平方向：2L=v₀t
   竖直方向：L=

1

2

qE

m

(

2L

v0

)2
联立解得，E=

m v 2 0

2qL

（2）设到原点时带电粒子的竖直分速度为v_y
则 vy=

qE

m

t=

qE

m

2L

v0

=v0
则粒子进入磁场时速度大小为  v=

2

v0，方向与x轴正向成45° 
粒子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动，由几何知识可得轨迹半径为  R1=

2

2

L
由洛伦兹力充当向心力，则有 Bqv=m

v2

R1

可解得：B=

mv

qR 1

=

2mv0

qL

（3）粒子运动轨迹如图．
在区域Ⅱ做匀速圆周的半径为 R2=

2

L
带电粒子能再次回到原点的条件是区域Ⅱ的宽度 d ≥R2+L=(

2

+1)L
粒子从O到M的运动时间 t1=

π 2 2 2 L

2 v0

=

πL

4v0

粒子从M到N的运动时间 t2=

2 L

2 v0

=

L

v0

粒子在区域Ⅱ中的运动时间 t3=

3π 2 2 L

2 v0

=

3πL

2v0

粒子两次经过原点O的时间间隔为 t总=2(t1+t2)+t3=

2(1+π)L

v0

答：（1）第三象限匀强电场场强E的大小是

m v 2 0

2qL

；
（2）区域I内匀强磁场磁感应强度B的大小是

2mv0

qL

；
（3）如带电粒子能再次回到原点O，区域II内磁场的宽度至少为（

2

+1）L，粒子两次经过原点O的时间间隔为

2(1+π)L

v0

．

点评：本题考查带电粒子在电磁场中的运动，注意在磁场中的运动要注意几何关系的应用，在电场中注意由类平抛运动的规律求解．