Question

5．如图，质量为m的小球a置于光滑的水平面上，小球b用系于固定点O、长度为L的细线悬挂着处于静止状态，此时小球b与水平面接触但无挤压．让小球a以速度v₀=2$\sqrt{gL}$（g为重力加速度）向右运动，之后与小球b发生弹性正碰．已知两球碰后细线向右偏离竖直方向的最大角度为θ=60°．求：
（i）小球b的质量；
（ii）小球a在碰撞过程受到小球b的作用力的冲量．

Answer 1

分析 （i）a、b发生弹性碰撞过程中，a、b系统动量守恒，机械能守恒，根据动量守恒定律和机械能守恒定律分别列式，再对小球b上摆过程，由机械能守恒定律列式，联立即可求解小球b的质量；
（ii）在碰撞过程，对小球a，运用动量定理求解a受到小球b的作用力的冲量．

解答 解：（i）设速度方向向右为正，碰后a、b两球的速度为v_a、v_b，由动量守恒定律和机械能守恒定律得：
  mv₀=mv_a+m_bv_b ①
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_a²+$\frac{1}{2}$m_bv_b² ②
联立①②式解得：v_a=$\frac{m-{m}_{b}}{m+{m}_{b}}$v₀ ③
  v_b=$\frac{2m}{m+{m}_{b}}$v₀④
碰后小球b上摆过程，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m_bv_b²=m_bgL（1-cosθ） ⑤
联立④⑤式解得：m_b=3m ⑥
（ii）取向右为正方向，设小球a在碰撞过程受到小球b的作用力的冲量为I，由动量定理得：
   I=mv_a-mv₀ ⑦
联立③⑥⑦式解得：I=-3m$\sqrt{gL}$ ⑧负号表示I的方向向左．
答：
（i）小球b的质量是3m；
（ii）小球a在碰撞过程受到小球b的作用力的冲量是3m$\sqrt{gL}$，方向向左．

点评 本题涉及两个过程：碰撞过程和b球上摆的过程，要把握弹性碰撞的基本规律：动量守恒定律和机械能守恒定律．b球上摆过程，遵守机械能守恒定律．抓住每个过程的物理规律是解题的关键．