Question

 如图所示，质量为m的小物块放在长直水平面上，用水平细线紧绕在半径为R、质量为2m的薄壁圆筒上．t=0时刻，圆筒在电动机带动下由静止开始绕竖直中心轴转动，转动中角速度满足ω=β₁t（β₁为已知常数），物块和地面之间动摩擦因数为μ．求：

（1）物块做何种运动？请说明理由．

（2）物块运动中受到的拉力．

（3）从开始运动至t=t₁时刻，电动机做了多少功？

（4）若当圆筒角速度达到ω₀时，使其减速转动，并以此时刻为t=0，且角速度满足ω=ω₀－β₂t（式中ω₀、β₂均为已知），则减速多长时间后小物块停止运动？

Answer 1

（1）圆筒边缘线速度与物块前进速度大小相同

根据v=ωR=Rβ₁t，线速度与时间成正比

物块做初速为零的匀加速直线运动                     （3分）

（2）由（1）问分析结论，物块加速度为a= Rβ₁               （1分）

根据物块受力，由牛顿第二定律得 T－μmg=ma            

则细线拉力为 T=μmg+m Rβ₁                                  （2分）

（3）对整体运用动能定理，有

W_电+W_f =                     （2分）

其中W_f =－μmgs=－μmg                （1分）

则电动机做的功为  W_电= μmg +      （1分）

（或对圆筒分析，求出细线拉力的做功，结果正确同样给分）

（4）圆筒减速后，边缘线速度大小v=ωR=ω₀R－Rβ₂t，线速度变化率为a= Rβ₂

若a≤μg，细线处于拉紧状态，物块与圆筒同时停止，物块减速时间为 t=ω₀/β₂    （2分）

若a>μg，细线松弛，物块水平方向仅受摩擦力，物块减速时间为t=ω₀R/μg      （2分）