Question

8．如图，在匀强磁场中有一倾斜的平行光滑金属导轨，导轨间距为L=30cm，长度为d=l00cm，导轨平面与水平面的夹角为θ=37°匀强磁场的磁感应强度大小为B=2.0T，方向与导轨平面垂直．质量m=60g，电阻r=0.5Ω的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑到导轨底端之前已经达到最大速度．导体棒始终与导轨垂直，接在两导轨间的电阻为R=1.5Ω，导轨电阻不计，重加速度为g=10m/s²，sin37°=0.6．求：
（1）电阻R上的最大功率；
（2）整个运动过程中，电阻R上产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）当导体棒受力平衡时，即重力沿斜面的分力等于安培力时，速度达最大，此时电阻上消耗的功率最大，由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律定律求最大电流，由$P={I}_{m}^{2}R$求R上的最大功率；
（2）根据能量守恒求出回路中的总热量，因为R和r串联，所以${Q}_{R}^{\;}=\frac{R}{R+r}Q$求出R上产生的热量

解答 解：（1）导体棒沿斜面下滑时感应电动势为E，电路中的感应电流为I，安培力为F
感应电动势为：E=BLv…①
电路电流为：$I=\frac{E}{R+r}$…②
安培力为：F=BIL…③
当导体棒重力沿斜面的分力和安培力F相等时达到最大速度${v}_{m}^{\;}$，此时电阻R的功率最大，为：
安培力和重力的分力平衡，有：F=mgsinθ…④
联立①②③④得：$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{v}_{m}^{\;}}{R+r}=mgsinθ$
得：${v}_{m}^{\;}=\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$
代入数据得：${v}_{m}^{\;}=2m/s$
电阻R上的最大功率：$P={I}_{\;}^{2}R=（\frac{BL{v}_{m}^{\;}}{R+r}）_{\;}^{2}R=（\frac{2×0.3×2}{1.5+0.5}）_{\;}^{2}×1.5=0.54W$
（2）根据能量守恒定律可知整个过程中回路产生的总电热为：
$Q=mgdsinθ-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}=0.24J$
所以电阻R上产生的电热：${Q}_{R}^{\;}=\frac{R}{R+r}Q=\frac{1.5}{1.5+0.5}×0.24=0.18J$
答：（1）电阻R上的最大功率0.54W；
（2）整个运动过程中，电阻R上产生的热量Q为0.18J

点评 本题实质是力学的共点力平衡与电磁感应的综合，都要求正确分析受力情况，运用平衡条件列方程，关键要正确推导出安培力与速度的关系式，分析出能量是怎样转化的．