Question

4．初速度为零的匀加速直线运动中，第一个T、第二个T、第三个T内的位移之比为1：3：5：…：（2n-1）；通过连续相等的位移所用时间之比为1：（$\sqrt{2}$-1）：（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）：…：（$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$）．

Answer 1

分析 本题应掌握初速度为零的匀加速直线运动的位移公式x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$．第二个T秒内的位移等于前两个T秒内的位移减去第一个T秒内的位移，第三个T秒内的位移等于前三个T秒内的位移减去前两个T秒内的位移，…从而可以求出第一个T秒内、第二个T秒内、第三个T秒内…第nT秒内的位移之比；运用比例法，求出从静止开始通过连续相等的位移所用的时间之比．

解答 解：由位移公式x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，x与t²成正比，则得，前T秒内、前2T秒内、前3T秒内…前nT秒内的位移之比为1²：2²：3²：…：n²；
第二个T秒内的位移等于前两个T秒内的位移减去第一个T秒内的位移，第三个T秒内的位移等于前三个T秒内的位移减去前两个T秒内的位移，…则得
第一个T秒内、第二个T秒内、第三个T秒内…第nT秒内的位移之比为1：（2²-1）：（3²-2²）：…[n²-（n-1）²]=1：3：5：…：（2n-1）；
设每个相等的位移大小为x，设物体通过每段位移的时间分别t₁，t₂，t₃…t_n．
则x=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，2x=$\frac{1}{2}a（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$，3x=$\frac{1}{2}a（{t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}）^{2}$…
由数学知识解得，t₁：t₂：t₃…t_n=1：（$\sqrt{2}$-1）：（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）：…：（$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$）
故答案为：1：3：5：…：（2n-1）；1：（$\sqrt{2}$-1）：（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）：…：（$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$）．

点评 解决本题的关键掌握初速度为0的匀变速直线运动中，第一个T内、第二个T内、第三个T内的位移之比，以及在前一个T内、前二个T内、前三个T内的位移之比．