Question

【题目】如果场源是多个点电荷，电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，电场中某点的电势为各个点电荷单独在该点产生电势的代数和。若规定无限远处的电势为零，真空中点电荷周围某点的电势φ可表示为，其中k为静电力常量，Q为点电荷的电荷量，r为该点到点电荷的距离。如图所示，一个半径为R、电荷量为+Q的均匀带电细圆环固定在真空中，环面水平。一质量为m、电荷量- q的带电液滴，从环心O正上方D点由静止开始下落。已知D、O间的距离为，静电力常量为k，重力加速度为g。求

(1)D点的电场强度E

(2)液滴到达O点时速度v的大小。

Answer 1

【答案】(1) 方向竖直向上；(2)

【解析】

利用微元法求出每个微元在D点的电场和竖直方向的电场，根据叠加原理求出D点的电场强度；结合点电荷的电势的公式，求出D、O点的电势，然后由功能关系即可求出液滴到达O点时速度v的大小。

解（1）D到环上的各点的距离为L，则由几何关系可知：

将均匀的带电圆环分成长度为的微元，每个微元带电量为

每个微元在D点的电场为

竖直方向的电场

根据叠加原理可知整个均匀带电圆环在在D点的水平方向的电场抵消为0

整个均匀带电圆环在在D点的竖直方向的电场

D点的电场强度，方向竖直向上

（2） 由于环上的各点到D的距离都是L，则环上的电荷在D处产生的电势为：

则环上的电荷在O处产生的电势为：

负电荷从D到O的过程中重力做正功，电场力也做正功，所以到达O点时：

所以：