Question

一竖直面内的轨道是由粗糙斜面 AB 和光滑圆轨道 BCD 组成，AB 与 BCD 相切于 B点，C 为圆轨道的最低点．将物块置于轨道 ABC上离地面高为 H处由静止下滑，可用力传感器测出其经过 C 点时对轨道的压力N．现将物块放在ABC上不同高度处，让H从0开始逐渐增大，传感器测得物块每次从不同高度处下滑到C点时对轨道压力N，得到如图乙两段直线PQ和QI，且IQ 反向延长交纵轴点坐标值为2.5N，重力加速度g取 10m/s²，求：（1）小物块的质量 m及圆轨道的半R=？
（2）轨道 DC 所对圆心角?
（3）小物块与斜面 AB 间的动摩擦因数??．

Answer 1

分析：（1）由图象可知，当滑块从B点下滑时对C点时由动能定理求出C点的速度，由合力提供向心力求出质量．
（2）由几何关系可以求出角度θ
（3）从A到C利用动能定理和向心力公式可求得摩擦力．

解答：解：（1）从圆轨道BC下来，由动能定理可知
      mgH=

1

2

mvc2
    在C点合力提供向心力
     N-mg=m

vc2

R

    N=

2mg

R

H+mg
    结合PQ段图象由
    mg=2N
    m=0.2Kg
  

2mg

R

=

4-2

0.5

∴R=1m
（2）轨道BC所对圆心角由几何关系可知：
cosθ=

1-0.5

1

=

1

2

θ=60⁰
（3）从A到C，由动能定理可得
mgH-

μmgcosθ(H-0.5)

sinθ

=

1

2

mv2
到达C点处由向心力公式可得

N-mg= mv2 R

故：N=

2mg

R

(1-

μ

tan60°

)H+(mg+

μ

2tan60°

)
k=

2mg

R

(1-μctg600)=

4-2.5

0.5

μ=

3

4

答：（1）小物块的质量 为0.2Kg及圆轨道的半径为1m
（2）轨道 DC 所对圆心角为60°
（3）小物块与斜面 AB 间的动摩擦因数

3

4

点评：本题根据动能定理和圆周运动的规律，再结合图线的数学意义，求解轨道半径等，是常用的数形结合的方法．