Question

4．如图所示，从A点以v₀=4m/s的水平速度抛出一质量m=1kg的小物块（可视为质点），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定的光滑圆弧轨道BC，经圆孤轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，滑到C点时速度大小为6m/s，圆弧轨道C端切线水平．已知长木板的质量M=2kg，物块与长木板之间的动摩擦因数μ=0.5，OB与竖直方向OC间的夹角θ=37°（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）小物块运动至B点时的速度大小；
（2）小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力（保留一位小数）；
（3）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板．

Answer 1

分析 （1）小物块从A到B做平抛运动，达到B点时速度方向沿圆弧轨道的切线方向，由速度的分解求出物块运动至B点时的速度大小；
（2）小物块在BC间做圆周运动，由机械能守恒定律求出轨道半径．在C点时，由轨道支持力和重力的合力提供圆周运动的向心力，据此求解即可；
（3）根据物块在长木板上滑动时，物块相对于长木板的位移应该小于等于长木板的长度，由动量守恒定律和能量守恒定律结合解答．

解答 解：（1）小物块运动至B点时的速度大小：
     v_B=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{4}{cos37°}$=5（m/s）
（2）从B到C的过程，由机械能守恒定律得
    mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 R=$\frac{11}{4}$m
物块在C点时，由牛顿第二定律得
    N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得，N=mg+m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$≈23.1N
由牛顿第二定律得知，物块在C点对轨道的压力大小 N′=N=23.1N
（3）小物恰好不滑出长木板时，取向右为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律得
     mv_C=（M+m）v
   μmgS_相对=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²；
解得 S_相对=2.4m
所以长木板至少为2.4m长，才能保证小物块不滑出长木板．
答：
（1）小物块运动至B点时的速度大小是5m/s；
（2）小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力是23.1N；
（3）长木板至少为2.4m长，才能保证小物块不滑出长木板．

点评 本题关键要理清物块在多个不同运动过程中的运动规律，掌握物块各个阶段的运动规律是解决本题的关键．对于物块在木板上滑行的过程，往往根据动量守恒定律和能量守恒定律结合研究．