Question

14．甲、乙两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，甲轨道半径是乙轨道半径的4倍，则（　　）

• A． 甲的线速度是乙的2倍
• B． 乙的线速度是甲的2倍
• C． 乙的角速度是甲的2倍
• D． 甲的周期是乙的2倍

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m{ω}^{2}r=ma=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，分析线速度、角速度、周期与轨道半径的关系．

解答 解：根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m{ω}^{2}r=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．
A、由$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$可知，$\frac{{v}_{甲}}{{v}_{乙}}=\sqrt{\frac{{r}_{乙}}{{r}_{甲}}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$．故A错误，B正确；
C、由$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$可知：$\frac{{ω}_{甲}}{{ω}_{乙}}=\sqrt{\frac{{r}_{乙}^{3}}{{r}_{甲}^{3}}}=\sqrt{（\frac{1}{4}）^{3}}=\frac{1}{8}$，可知乙的角速度是甲的8倍．故C错误；
D、由$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$可知，$\frac{{T}_{甲}}{{T}_{乙}}=\sqrt{\frac{{r}_{甲}^{3}}{{r}_{乙}^{3}}}=\sqrt{（\frac{4}{1}）^{3}}=\frac{8}{1}$．甲的周期是乙的8倍．故D错误．
故选：B

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m{ω}^{2}r=ma=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，能够分析出加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系．