Question

15．氢原子中，已知电子质量为m，电量为e，第一轨道半径为r₁，求电子在不同轨道运动时的线速度、周期、动能、电势能．

Answer 1

分析 根据库仑力提供向心力，结合圆周运动周期的公式，即可求解．

解答 解：库仑力提供了电子做匀速圆周运动的向心力，即有：$k\frac{e^2}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$
解之得电子做匀速圆周运动的速度：$v=e\sqrt{\frac{k}{mr}}$
由于做匀速圆周运动的周期：$T=\frac{2πr}{v}$
由以上三式得电子绕核运动的周期：T=$\frac{2π}{e}\sqrt{\frac{m{r}^{3}}{k}}$
电子的动能：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{k{e}^{2}}{2r}$
电子的电势能：${E}_{P}=\frac{k{e}^{2}}{r}$
由于氢的核外电子的轨道关系满足：${r}_{n}={n}^{2}{r}_{1}$
所以电子在不同轨道运动时的线速度、周期、动能、电势能为：
${v}_{n}=e\sqrt{\frac{k}{m{r}_{n}}}=\frac{e}{n}•\sqrt{\frac{k}{m{r}_{1}}}$
${T}_{n}=\frac{2π}{e}•\sqrt{\frac{m{r}_{n}^{2}}{k}}=\frac{2nπ}{e}•\sqrt{\frac{nm{r}_{1}}{k}}$
${E}_{kn}=\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{n}}=\frac{k{e}^{2}}{2{n}^{2}{r}_{1}}$
${E}_{Pn}=\frac{k{e}^{2}}{{r}_{n}}=\frac{k{e}^{2}}{{n}^{2}{r}_{1}}$
答：电子在不同轨道运动时的线速度、周期、动能、电势能的表达式分别为（n表示第n轨道）：
${v}_{n}=\frac{e}{n}•\sqrt{\frac{k}{m{r}_{1}}}$
${T}_{n}=\frac{2nπ}{e}•\sqrt{\frac{nm{r}_{1}}{k}}$
${E}_{kn}=\frac{k{e}^{2}}{2{n}^{2}{r}_{1}}$
${E}_{Pn}=\frac{k{e}^{2}}{{n}^{2}{r}_{1}}$

点评 考查库仑定律，掌握牛顿第二定律的应用，注意原子核的电量与电子电量相等．