Question

如图8-4-4所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑的水平面上，物体A被水平速度为v₀的子弹射中并嵌在其中.已知物体B的质量为m_B，物体A的质量是物体B的质量的3/4，子弹的质量是物体B的质量的1/4，求弹簧压缩到最短时的弹性势能.

Answer 1

解析：本题所研究的总过程可分成两个子过程：一是子弹射入A的过程(从子弹开始射入A到它们获得相同速度)，这一过程时间极短，物体A的位移可忽略，故弹簧没有形变，B没有受到弹簧的作用，其运动状态没有变化.所以在这个过程中仅是子弹和A发生相互作用(碰撞)，由动量守恒定律有

mv₀=(m+m_A)v₁，

子弹和A获得的共同速度为

v₁==.

二是A(包括子弹)以v₁的速度开始压缩弹簧.在这一过程中，A(包括子弹)向右做减速运动，B向右做加速运动.当A(包括子弹)的速度大于B的速度时，它们间的距离缩短，弹簧的压缩量增大；当A(包括子弹)的速度小于B的速度时，它们间的距离增大，弹簧的压缩量减小.所以当A(包括子弹)的速度和B的速度相等时，弹簧被压缩到最短，弹性势能最大.从开始压缩弹簧至它们具有共同速度的这一过程中，系统(A、子弹、B)所受的外力(重力、支持力)的合力为零，遵守动量守恒定律.由动量守恒定律得

(m+m_A)v₁=(m+m_A+m_B)v₂

解得v₂=

从子弹与A有共同速度至弹簧被压缩到最短的过程，系统（A、B、子弹、弹簧）的机械能守恒.设弹簧最短时弹性势能为E_p，则有

(m+m_A)v₁²=(m+m_A+m_B)v₂²+E_p

解得 E_p=m_Bv₀²

求共同速度v₂也可以子弹、A、B组成的系统为研究对象.从子弹开始射入木块一直到弹簧被压缩到最短的过程中，系统所受的外力(重力、支持力)的合力始终为零.故全过程系统的动量守恒，由动量守恒定律得

mv₀=(m+m_A+m_B)v₂

同样解得v₂=.