Question

7．如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，半径为R，ab为沿水平方向的直径，O为圆心．若在a点以某一初速度v₀沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点（c点未画出）．以下说法正确的是（　　）

• A． c点的速度反向延长线过O点
• B． 若v₀=$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$，则c点距直径ab的距离为$\frac{1}{2}$R
• C． 若v₀=$\sqrt{\frac{8}{5}gR}$，则击中c点时的动能为初动能的2倍
• D． 当c点在O点正下方时，小球的末动能最大

Answer 1

分析 平抛运动速度的反向延长线经过水平位移的中点．平抛运动的规律求出小球落在O点正下方时平抛的初速度，从而确定出若v₀=$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$时c点的位置，由平抛运动的规律求时间，结合几何关系求c点距直径ab的距离．若v₀=$\sqrt{\frac{8}{5}gR}$，由平抛运动的规律求时间，求出击中c点时的分速度，再研究动能与初动能的关系．由动能定理分析小球落何处动能最大．

解答 解：A、平抛运动速度的反向延长线经过水平位移的中点，由于O点不是水平位移的中点，所以c点的速度反向延长线不经过O点，故A错误．
B、设球落在O点正下方时平抛的初速度为v，则有 R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，R=vt，得 v=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，v₀=$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$＞v，可知小球落在O点的右下方．
若c点距直径ab的距离 h=$\frac{1}{2}$R，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得 t=$\sqrt{\frac{R}{g}}$
落在c点时，设水平位移为x，由几何关系有 R²=h²+（x-R）²；解得 x=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$R
由x=v₀t得 v₀=$\frac{（2+\sqrt{3}）\sqrt{gR}}{2}$，故B错误．
C、若击中c点时的动能为初动能的2倍，则击中c点时的速度是初速度的$\sqrt{2}$倍，即为$\sqrt{2}$v₀，由分速度的关系知，v_y=v₀．
平抛时间 t=$\frac{{v}_{y}}{g}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$
竖直位移 y=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，水平位移 x=v₀t=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$
根据R²=y²+（x-R）²；解得 v₀=$\sqrt{\frac{8}{5}gR}$，故C正确．
D、设击中点c与b所对的圆心角为θ，则小球下落的高度 h=Rsinθ，则运动的时间 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2Rsinθ}{g}}$
水平位移 x=（1+cosθ）R，则初速度 v₀=$\frac{x}{t}$=（1+cosθ）$\sqrt{\frac{gR}{2sinθ}}$．
小球的末动能 E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mgh=mgR$\frac{-3co{s}^{2}θ+2cosθ+5}{4sinθ}$
对动能求导得：E_k′=mgR$\frac{4（6cosθsinθ-2sinθ）sinθ-4（-3co{s}^{2}θ+2cosθ+5）cosθ}{16si{n}^{2}θ}$
当E_k′=0时，θ≠90°，所以当c点在O点正下方时，小球的末动能不是最大，故D错误．
故选：C

点评 解决本题的关键要抓住几何关系，分析平抛运动水平位移和竖直位移之间的关系，采用倒序法进行研究．