Question

【题目】如图，在区域I（0≤x≤d）和区域II（d≤x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面．一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域I，其速度方向沿x轴正向．已知a在离开区域I时，速度方向与x轴正方向的夹角为30°；因此，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从p点沿x轴正向射入区域I，其速度大小是a的1/3．不计重力和两粒子之间的相互作用力．求

（1）粒子a射入区域I时速度的大小；

（2）当a离开区域II时，a、b两粒子的y坐标之差．

Answer 1

【答案】

【解析】

(1)设粒子a在Ⅰ内做匀速圆周运动的圆心为C(在y轴上)，半径为Ra1，粒子速率为va，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P′，如图所示．由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

qvaB＝m①

由几何关系得

∠PCP′＝θ②

Ra1＝③

式中，θ＝30°.

由①②③式得

va＝④

(2)设粒子a在Ⅱ内做圆周运动的圆心为Oa，半径为Ra2，射出点为Pa(图中未画出轨迹)，∠P′OaPa＝θ′＝2θ.由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

qva(2B)＝m⑤

由①⑤式得

Ra2＝⑥

C、P′和Oa三点共线，且由⑥式知Oa点必位于x＝d的平面上，由对称性知，Pa点与P′点纵坐标相同，即yPa＝Ra1cosθ＋h⑦

式中，h是C点的y坐标．

设b在Ⅰ中运动的轨道半径为Rb1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

qB＝2⑧

设a到达Pa点时，b位于Pb点，转过的角度为α.如果b没有飞出Ⅰ，则

＝⑨

＝⑩

式中，t是a在区域Ⅱ中运动的时间，而

Ta2＝

Tb1＝

由⑤⑧⑨⑩式得α＝30°

由①③⑧式可见，b没有飞出Ⅰ.Pb点的y坐标为

yPb＝Rb1cosα＋Ra1－Rb1＋h

由①③⑦⑧式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标之差为yPa－yPb＝(－2)d