Question

2．如图所示，在直角坐标系xOy的原点O处有一放射源S，放射源S在xOy平面内均匀发射速度大小相等的带正电的粒子，位于y轴的右侧有一垂直于z轴、长度为L的很薄的荧光屏MN，荧光屏正反面两侧均涂有荧光粉，MN与x轴交于点O′．已知三角形MNO为正三角形，放射源S射出的粒子质量为m，电荷量为q，速度大小为v，不计粒子的重力．
（1）若只在y轴右侧加一平行于x轴正方向的匀强电场，要使y轴右侧射出的所有粒子都能打到荧光屏MN上，试求电场强度的最小值E_min及打到荧光屏M点时粒子的动能．
（2）若在xOy平面内只加一方向垂直纸面向里的匀强磁场，要使粒子能打到荧光屏MN的反面O′点上，试求磁场的磁感应强度的最大值B_max．
（3）若在xOy平面内只加一方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度与（2）中所求B_max相同，试求粒子打到荧光屏MN正面O′点所需的时间t₁和打在荧光屏MN反面O′点所需的时间t₂之比．

Answer 1

分析 （1）要使y轴右侧射出的所有粒子都能打到荧光屏MN上，临界状态为对应沿着y轴正方向射出的带电粒子正好打在荧光屏的端点M，根据类平抛运动的规律，求出电场强度的最小值，根据动能定理求出粒子打到荧光屏M点的动能．
（2）当磁感应强度最大时，轨道半径最小，作出粒子运动轨迹图，根据几何关系求出轨道半径的大小，从而根据洛伦兹力提供向心力求出磁感应强度的大小．
（3）作出粒子的运动轨迹图，分别求出打在正面O′点和反面O′点轨迹的圆心角，抓住圆周运动的角速度相等，求出运动时间之比．

解答 解：（1）由题意，所加电场电场强度的最小值为E_min，对应沿着y轴正方向射出的带电粒子正好打在荧光屏的端点M这一临界状态，对该粒子有：
  $\frac{L}{2}$=vt
  $\frac{\sqrt{3}}{2}L$=$\frac{q{E}_{min}}{2m}{t}^{2}$
联立两式解得：E_min=$\frac{4\sqrt{3}m{v}^{2}}{qL}$
对此时从S射出能打到荧光屏上的任一粒子（包括打到荧光屏M点的粒子），设它到达屏时的动能为E_k，根据动能定理得：
  E_k-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=qE_min•$\frac{\sqrt{3}}{2}$L
解得：E_k=$\frac{13}{2}$mv²．
（2）由题意得，所加磁场的最大磁感应强度B_max对应来自S的粒子恰好经过荧光屏下端点N后打到O′这一临界状态，如图所示（圆心为C₁）从图中的几何关系得，粒子在磁场中做圆周运动的半径为 r=$\frac{L}{2}$．
根据qvB_max=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：B_max=$\frac{2mv}{qL}$．
（3）打在荧光屏正面O′点的粒子的圆弧如图（圆心在C₂），根据匀速圆周运动规律有：
t₁=$\frac{θ}{ω}$，
t₂=$\frac{2π-θ}{ω}$
由图中几何关系得：θ=$\frac{2π}{3}$．
解得：t₁：t₂=1：2．
答：（1）电场强度的最小值E_min为$\frac{4\sqrt{3}m{v}^{2}}{qL}$，打到荧光屏M点的粒子的动能为$\frac{13}{2}$mv²．
（2）磁场的磁感应强度的最大值B_max为$\frac{2mv}{qL}$．
（3）粒子打在-荧光屏MN的正面O'点所需的时问t₁和打在荧光MN的反面O’点所需的时间t₂之比为1：2．

点评 本题考查了粒子在电场中的类平抛运动，和在磁场中的圆周运动，综合性较强，关键作出临界的轨迹图，选择合适的规律进行求解．