Question

（2011?天门模拟）如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在固定挡板C上，另一端连接一质量为m的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端有一细绳套，细绳与斜面平行，物体A处于静止状态．现在细绳套上轻轻挂上一个质量也为m的物体B，A将在斜面上做简谐运动．试求：
（1）物体A的最大速度值．
（2）物体B下降到最低点时，细绳对物体B的拉力值．

Answer 1

分析：（1）未挂物体B时，对于物体A由平衡条件求出此时弹簧的压缩量，挂B后A沿斜面向上做加速度减小的加速运动，当A加速度为0时，A速度最大，对AB分别根据平衡条件求出此时弹簧的伸长量，进而判断在此过程中弹簧弹性势能改变量，设最大速度为υ，对于A、B及弹簧组成的系统由机械能守恒即可求出A的最大速度值；
（2）分别对A在最高点时和B在最低点时运用牛顿第二定律求出绳子的拉力．

解答：解：（1）未挂物体B时，设弹簧压缩量为x₁，对于物体A由平衡条件有：kx₁-mgsin30°=0
解得：x1=

mg

2k

①
挂B后A沿斜面向上做加速度减小的加速运动，当A加速度为0时，A速度最大，设此时弹簧伸长量为x₂，对于A由平衡条件有：T-kx₂-mgsin30°=0②
当A加速度为0时，B加速度也为0，对于B由平衡条件：T-mg=0③
由②③解得：x2=

mg

2k

因x₁与x₂相等，故在此过程中弹簧弹性势能改变量△E=0④
设最大速度为υ，对于A、B及弹簧组成的系统由机械能守恒得：mg(x1+x2)-mg(x1+x2)sin30°=

1

2

mυ2⑤
将x₁、x₂代入⑤得：υ=

mg2 2k

（2）A做简谐运动的振幅为x₁+x₂，A运动到最高点时弹簧的伸长量x=2x₂+x₁
A在最高点时，由牛顿第二定律：mgsin30°+kx-T'=ma
B在最低点时，由牛顿第二定律：T'-mg=ma
解得：T′=

3

2

mg
答：（1）物体A的最大速度为

mg2 2k

．
（2）物体B下降到最低点时，细绳对物体B的拉力为

3

2

mg．

点评：本题解题的关键是根据两个物体的受力分析判断运动情况，知道当A加速度为0时，A速度最大，此时AB受力都平衡，运动过程中A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，难度适中．