Question

（2007?南京二模）如图所示，质量为3m的足够长木板C静止在光滑水平面上，质量均为m的两个小物块A、B放在C的左端，A、B间相距s₀，现同时对A、B施加水平向右的瞬时冲量而使之分别获得初速度v₀和2v₀，若A、B与C之间的动摩擦因数分别为μ和2μ，则

（1）最终A、B、C的共同速度为多大？
（2）当A与C刚相对静止时B的速度为多大？
（3）A与B最终相距多远？
（4）整个过程中A、B与木板C因摩擦所产生的热量之比为多大？

Answer 1

分析：（1）A、B、C三个物体组成的系统，所受合外力为零，系统的动量守恒，根据动量守恒定律求出最终A、B、C的共同速度．
（2）根据动量守恒定律和动量定理研究，求出A与C刚相对静止时B的速度．
（3）根据牛顿第二定律分别求出AC相对静止前后三个物体的加速度大小，由速度位移公式求出从开始运动到三个物体均相对静止时相对于地面的位移，再求出A与B最终相距的距离．
（4）根据能量守恒定律求出A相对于C滑动的距离，得到B相对C滑动的距离．摩擦所产生的热量等于滑动摩擦力大小与相对位移大小的乘积．再求解热量之比．

解答：解：（1）根据动量守恒定律得
   mv₀+2mv₀=（m+m+3m）v
解得v=0.6v₀  
（2）设经过t时间，A与C相对静止，共同速度为v_AC，此时B的速度为v_B，由动量守恒得
    mv₀+2mv₀=（m+3m）v_AC+mv_B
根据动量定理得
   对A：-μmgt=m（v_AC-v₀）
   对C：（μmg+2μmg）t=3mv_AC
联立以上三式
    v_AC=0.5v₀，v_B=v₀
（3）AC相对静止前，AB做匀减速运动，C做匀加速运动，三个物体的加速度分别为
    a_A=

μmg

m

=μg
    a_B=

2μmg

m

=2μg
    a_C=

μmg+2μmg

3m

=μg
AC相对静止后，AC做匀加速运动，B做匀减速运动，三个物体的加速度分别为
 a_A′=a_C′=

2μmg

m+3m

=0.5μg
   a_B′=a_B=2μg
最终三个物体一起做匀速直线运动．
从开始运动到三个物体都相对静止，A、B相对于地的位移分别为
s_A=

v 2 0 -v 2 AC

2aA

+

v 2   -v 2 AC

2a′A

=0.485

v 2 0

μg

  s_B=

(2v0) 2   -v 2

2aB

=0.91

v 2 0

μg

所以A与B最终相距△s=s₀+s_B-s_A=s₀+0.425

v 2 0

μg

      
（4）设整个运动过程中AC相对于滑行的距离为s，则B相对于C滑行的距离为s+△s-s₀．
根据能量守恒定律得
   μmgs+2μmg（s+△s-s₀）=

1

2

mv

2 0

+

1

2

m（2v₀）²-

1

2

（m+m+3m）v²
解得s=0.25

v 2 0

μg

    
整个过程中A、B与木板C因摩擦所产生的热量分别为
   Q_A=μmgs
   Q_B=2μmg（s+△s-s₀）
代入解得

QA

QB

=

5

27

答：（1）最终A、B、C的共同速度为0.6v₀．
（2）当A与C刚相对静止时B的速度为0.5v₀．
（3）A与B最终相距得s=0.25

v 2 0

μg

．   
（4）整个过程中A、B与木板C因摩擦所产生的热量之比为5：27．

点评：本题的运动过程比较复杂，研究对象比较多，按程序法进行分析，考查解决综合题的能力．