Question

6．如图所示，某货场需将质量为m₁=50kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用光滑倾斜轨道SP，竖直面内弧形光滑轨道PQ，使货物由倾斜轨道顶端距底端高度h=4m处无初速度滑下，两轨道相切于P，倾斜轨道与水平面夹角为θ=60°，弧形轨道半径R=2m，末端切线水平．地面上紧靠轨道依次排放两块木板A、B，质量均为m₂=50kg，长度均为L=7m，木板上表面与轨道末端Q相切，货物与木板间的动摩擦因数为μ₁，木板与地面间的动摩擦因数μ₂=0.1．（不考虑货物与各轨道相接处能量损失、最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）求货物到达圆轨道末端Q点时对轨道的压力．
（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ₁应满足的条件．
（3）若μ₁=0.50，求货物从滑上木板A到货物与木板B到达共同速度的过程中整个系统摩擦产生的热量．

Answer 1

分析 （1）物体下滑的过程中，机械能守恒，根据机械能守恒可以得出到达底端时的速度，再由向心力的公式可以求得物体受到的支持力的大小，根据牛顿第三定律可以得到货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小；
（2）货物滑上木板A时，木板不动，说明此时货物对木板的摩擦力小于地面对木板的摩擦力的大小，而滑上木板B时，木板B开始滑动，说明此时货物对木板的摩擦力大于了地面对货物的摩擦力的大小，由此可以判断摩擦因数的范围．
（3）当μ₁=0.50时，由⑥式可知，货物在木板A上滑动时，木板做加速运动，货物做的是匀减速直线运动，由匀变速直线运动的规律可以求得到达B的速度；货物在B上运动的过程中，货物继续减速，而B继续加速，由运动学的公式即可求出A相当于B静止时的速度，最后由功能关系即可求出产生的热量．

解答 解析：（1）设货物滑到圆轨道末端时的速度为v₀，对货物的下滑过程，根据机械能守恒定律得：
m₁g（h+R-Rcos60°）=$\frac{1}{2}$m₁v₀²…①
设货物在轨道末端所受支持力的大小为F_N，根据牛顿第二定律得：
F_N-m₁g=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$  …②
联立①②式，代入数据得：v₀=10m/s
F_N=3000 N
根据牛顿第三定律，货物对轨道的压力大小为3000 N，方向竖直向下．
（2）若滑上木板A时，木板不动，由受力分析得：
μ₁m₁g≤μ₂（m₁+2m₂）g…③
若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得：
μ₁m₁g＞μ₂（m₁+m₂）g…④
联立④⑤式，代入数据得：0.2＜μ₁≤0.3．
（3）当μ₁=0.50时，由⑥式可知，货物在木板A上滑动时，木板做加速运动．设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为a₁，
由牛顿第二定律得：μ₁m₁g=m₁a₁ …⑤
代入数据得：${a}_{1}=5m/{s}^{2}$ 
两个木板在水平方向上的加速度a₂：2m₂a₂=μ₁m₁g-μ₂（m₁+2m₂）g    …⑥
代入数据得：${a}_{2}=1m/{s}^{2}$
当货物滑到木板A末端时：$（{v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}）-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=L$…⑦
代入数据得：t=1s
货物的速度为v₁，由运动学公式得：v₁=v₀-a₁t=10-5×1=5m/s
木板的速度：v₂=a₂t=1×1=1m/s
滑上木板B时，货物继续减速，加速度不变；木板B继续加速，
木板B做匀加速运动的加速度：a₃=$\frac{{μ}_{1}mg{-μ}_{2}（{{m}_{1}+m}_{2}）g}{{m}_{2}}$=3m/s²．
货物与B速度相等时，v₁-a₁t′=v₂+a₃t′⑧
得：t′=0.5s
它们的速度：v=v₁-a₁t′=5-5×0.5=2.5m/s
货物在B上滑动的过程中A在水平地面上做减速运动，加速度大小：
${a}_{4}=\frac{{μ}_{2}{m}_{2}g}{{m}_{2}}={μ}_{2}g=0.1×10=1m/{s}^{2}$
经过0.5s后A的速度：v₃=v₂-a₄t′=1-1×0.5=0.5m/s
由功能关系可知，货物从滑上木板A到货物与木板B到达共同速度的过程中整个系统摩擦产生的热量等于系统损失的动能，即：
Q=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{3}^{2}$   ⑨
代入数据得：Q=2181.25J
答：（1）货物到达圆轨道末端时对轨道的压力是3000N；
（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，μ₁应满足的条件是0.2＜μ₁≤0.3；
（3）若μ₁=0.5，货物从滑上木板A到货物与木板B到达共同速度的过程中整个系统摩擦产生的热量是2181.25J．

点评 本题考查了机械能守恒、圆周运动和牛顿运动定律的应用，特别需要注意的是货物在水平面上运动时木板的运动状态，由于是两块木板，所以货物运到到不同的地方时木板的受力不一样．