Question

如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R=0.2m的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0×10³V/m 一不带电的绝缘小球甲，以速度v₀沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞，已知甲、乙两球的质量均为m=1.0×10^-2kg，乙所带电荷量q=2.0×10^-5C，g取10m/a²。（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移）
（1）甲、乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；
（2）在满足（1）的条件下，求甲的速度v₀；
（3）若甲仍以速度v₀向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围。

Answer 1

解：（1）在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点的速度为v_D，
乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，则
①
②
x=v_Dt ③
 联立①②③得x=0.4m ④
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v_甲、v_乙
根据动量守恒定律和机械能守恒定律有mv₀=mv_甲+mv_乙 ⑤
联立⑤⑥得v_乙=v₀⑦
由动能定理，得⑧
联立①⑦⑧得⑨
（3）设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为v_M、v_m，
根据动量守恒定律和机械能守恒定律有Mv₀= Mv_M+ mv_m⑩

联立⑩得
由和M≥m，可得v₀≤v_m< 2v₀
设乙球过D点时的速度为v_Dˊ，由动能定理得

 联立⑨得2m/s≤v_D'<8m/s
设乙在水平轨道上的落点距B点的距离为xˊ，有xˊ=v_D't
联立②得0.4m≤xˊ<1.6m。