如图所示.足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B.方向垂直纸面向里的匀强磁场.现从ad边的中心O点处.垂直磁场方向射入一速度为v0的带正电粒子.v0与ad边的夹角为30°．已知粒子质量为m.带电量为q.ad边长为L.不计粒子的重力．(1)若要使粒子能从ab边射出磁场.求v0的大小范围,(2)若要求粒子在磁场中运动的时间最长.此最长时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2008?肇庆二模）如图所示，足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向射入一速度为v₀的带正电粒子，v₀与ad边的夹角为30°．已知粒子质量为m，带电量为q，ad边长为L，不计粒子的重力．
（1）若要使粒子能从ab边射出磁场，求v₀的大小范围；
（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，此最长时间是多少？与粒子在磁场中运行最长时间相对应的v₀的大小范围是多少？

分析：（1）根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，结合几何关系可确定半径的范围，即可求解；
（2）根据题意确定运动轨迹，再由圆心角与周期公式，即可确定最长运动的时间；根据半径公式与半径的取值，即可求解．

解答：

解：（1）如答图所示，当粒子的速度大于与R₁相对应的速度v₁时，粒子将从dc边射出．
由几何关系可得：R₁=L ①
由洛仑兹力和向心力公式可得：m

=qv1B②
当粒子的速度小于与R₂相对应的速度v₂时，粒子将从ad边射出．
由几何关系可得：

-R2=

③
由③式解得：R2=

④
由洛仑兹力和向心力公式可得：m

=qv2B⑤
将①④式分别代入②⑤式可解得：v1=

qBL

v2=

qBL

⑥
所以v₀的取值范围是

qBL

＜v0≤

qBL

⑦
（2）粒子在磁场中运动的时间最长，其做圆周运动的圆心角必然最大，在答图中，当粒子的速度小于v₂时，粒子从ad边的不同位置射出时，其半径虽不同，但圆心角的夹角都是

×2π，所以粒子在磁场中的运动时间也是

，此即粒子在磁场中运动的最长时间
由向心力和洛仑兹力公式可得：T=

2πm

⑧
所以粒子运动的最长时间为：t=

5πm

3qB

⑨
与粒子在磁场中运行最长时间相对应的v₀的大小范围是：0＜v0≤

qBL

答：（1）若要使粒子能从ab边射出磁场，则v₀的大小范围是

qBL

＜v0≤

qBL

；
（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，此最长时间是：t=

5πm

3qB

；与粒子在磁场中运行最长时间相对应的v₀的大小范围是：0＜v0≤

qBL

．

点评：考查牛顿第二定律的应用，掌握几何关系在题中的运用，理解在磁场中运动时间与圆心角的关系．注意本题关键是画出正确的运动轨迹．

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