Question

下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G是已知的）（　　）

A．地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离r

B．月球绕地球运行的周期T和地球的半径r

C．月球绕地球运动的角速度和月球的半径R

D．月球绕地球运动的周期T和轨道半径r

Answer 1

分析：地球、月球、人造卫星等做匀速圆周运动，它们受到的万有引力充当向心力，用它们的运动周期、线速度和加速度表示向心力，由万有引力定律结合牛顿第二定律列式求中心天体的质量，然后由选项条件判断正确的答案．

解答：解：A、地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力充当向心力，用它运动周期表示向心力，由万有引力定律结合牛顿第二定律得：

GM太m

R2

=m

4π2

T2

R，由此公式只能求出中心天体的质量，不能求地球的质量，故A错误．
B、月球绕地球运行时，受到地球的吸引万有引力提供向心力，用周期表示向心力（M表示地球的质量，m表示月球的质量，R 表示地球和月球间的距离），即

GMm

R2

=m

4π2

T2

R，所以M=

4π2R3

GT2

，但选项知地球的半径，而不是轨道半径，所以不能求出地球的质量，故B错误．
C、月球绕地球运行时，受到地球的吸引万有引力提供向心力，用角速度表示向心力（M表示地球的质量，m表示月球的质量，r表示地球和月球间的距离），即

GMm

r2

=mω²r，但选项知月球绕地球运动的角速度和月球的半径，而不是轨道半径，所以不能求出地球的质量，故C错误．
D、月球绕地球运行时，受到地球的吸引万有引力提供向心力，用周期表示向心力（M表示地球的质量，m表示月球的质量），即即

GMm

r2

=m

4π2

T2

r，所以M=

4π2r3

GT2

，选项已告知周期T和轨道半径r，故能求出地球的质量，故D正确．
故选：D．

点评：解答万有引力定律在天体运动中的应用时要明确天体做匀速圆周运动，其受到的万有引力提供向心力，会用线速度、角速度、周期表示向心力，同时注意公式间的化简．