Question

（2009?闵行区二模）当物体从高空下落时，空气对物体的阻力会随物体的速度增大而增大，因此，物体下落一段距离后将会匀速下落，这个速度被称为物体下落的收尾速度．研究发现，在相同环境条件下，球形物体的收尾速度仅与球的半径及质量有关．下表是某次研究的实验数据：

小球	A	B	C	D	E
小球半径r（×10-3m）	0.5	0.5	1.5	2.0	2.5
小球质量m（×10-6Kg）	2	5	45	40	100
小球收尾速度v（m/s）	16	40	40	20	32

对表中数据分析发现：

小球	A	B	C	D	E
数据 比值	16×0．52 2 =2	40×0．52 5 =2	40×1．52 45 =2	20×22 40 =2	32×2．52 100 =2

（1）试根据表中数据，求出B、C两球在达到收尾速度时，所受的空气阻力比为

1：9

．
（2）试根据表中数据，归纳出球形物体所受的空气阻力f与球的速度v及球的半径r的关系式（写出表达式、比例系数及其归纳运算过程）．

Answer 1

分析：（1）当结尾速度相同时，小球做匀速运动，重力等于阻力，所以编号为2、3的小球在达到收尾速度时所受的空气阻力之比等于他们的重力之比．
（2）对表中数据分析发现：vr² 与m成正比，由收尾速度时 f=mg   得f与m、vr² 成正比即：f=kvr²，然后求出比例系统k，由归纳法得出结论．

解答：解：（1）编号为2、3的小球在达到收尾速度时所受的空气阻力之比f₂：f₃=m₂g：m₃g=1：9．
（2）对表中数据分析发现：
即：

r2v

m

=2即    vr² 与m成正比     
由收尾速度时 f=mg   得f与m、vr² 成正比
 即：f=kvr²
求比例系数K：K=

mg

vr2

对A小球，K=

mAg

vArA2

=

2×10

16×0.52

=5（Ns/m³），
对B小球，

mBg

vBrB2

=

5×10

40×0.52

=5（Ns/m³），
对C小球，

mCg

vCrC2

=

45×10

40×1.52

=5（Ns/m³），
由归纳法得：k=5（Ns/m³），所以    f=5vr²．
答：（1）1：9；（2）球形物体所受的空气阻力f与球的速度v及球的半径r的关系式为  f=5vr²．

点评：本题考查收尾速度、小球半径以及阻力的关系，关键知道物体达到收尾速度时重力等于阻力，要学会应用控制变量法解题，还要学会分析数据．