Question

18．如图所示，一遥控电动赛车（可视为质点）从A点由静止以恒定的功率沿水平地面向右加速运动，当到达固定在竖直面内的光滑半圆轨道最低点B时关闭发动机，由于惯性，赛车继续沿半圆轨道运动，并恰好能通过最高点C（BC为半圆轨道的竖直直径）．已知赛车的质量为m，半圆轨道的半径为R，A、B两点间的距离为1.5R，赛车在地面上运动时受到的阻力大小恒为$\frac{1}{3}mg$，不计空气阻力，重力加速度为g，下列判断正确的是（　　）

• A． 赛车通过C点后落回地面的位置到B点的距离为2R
• B． 赛车通过B点时的速度大小为$2\sqrt{gR}$
• C． 赛车从A点运动到B点的过程中，其电动机所做的功为$\frac{5mgR}{2}$
• D． 要使赛车能滑过B点并沿半圆轨道滑回地面，其电动机所做的功W需满足的条件为$\frac{mgR}{2}＜W≤\frac{3mgR}{2}$

Answer 1

分析 赛车恰好能通过最高点C时，由重力提供向心力，由此列式求出赛车通过C点时的速度．赛车离开C点后做平抛运动，由平抛运动的规律求赛车通过C点后落回地面的位置到B点的距离．从B到C的过程，由机械能守恒定律求赛车通过B点时的速度．研究赛车从A点运动到B点的过程，由动能定理求电动机所做的功．要使赛车能滑过B点并沿半圆轨道滑回地面，由动能定理和临界条件结合求电动机所做的功W需满足的条件．

解答 解：A、赛车恰好能通过最高点C时，由重力提供向心力，则有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得 v_C=$\sqrt{gR}$
赛车离开C点后做平抛运动，则得：
水平方向有 x=v_Ct
竖直方向有 2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得 x=2R，即赛车通过C点后落回地面的位置到B点的距离为2R，故A正确．
B、从B到C的过程，由机械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，解得 v_B=$\sqrt{5gR}$．故B错误．
C、赛车从A点运动到B点的过程中，由动能定理得 W-$\frac{1}{3}$mg•1.5R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，解得电动机做的功 W=3mgR．故C错误．
D、当赛车刚好运动到B点速度为零时，赛车从A点运动到B点的过程中，由动能定理得 W₁-$\frac{1}{3}$mg•1.5R=0，解得电动机做的功 W₁=$\frac{1}{2}$mgR
当赛车刚好能滑到与圆心等高处速度为零时，赛车从A点运动到与圆心等高位置的过程中，由动能定理得 W₂-$\frac{1}{3}$mg•1.5R-mgR=0，解得电动机做的功 W₂=$\frac{3}{2}$mgR，所以要使赛车能滑过B点并沿半圆轨道滑回地面，其电动机所做的功W需满足的条件为$\frac{mgR}{2}＜W≤\frac{3mgR}{2}$．故D正确．
故选：AD

点评 解决本题的关键是要把握圆周运动的临界条件，知道赛车刚好通过C点时，重力等于向心力．刚好到达与圆心等高处时速度．分段运用动能定理研究．