Question

13．如图所示，质量m=0.5kg的小球从距地面高H=5m处自由下落，到达地面A点时恰能沿凹陷于地面的粗糙半圆形槽壁运动，半圆槽半径R=0.4m．小球到达槽最低点时的速率为v_B=10m/s，并继续沿槽壁运动直至从槽左端边缘飞出，竖直上升，落下后恰好又沿槽壁运动直到从槽右端边缘飞出，竖直上升、下落，如此反复几次．设粗糙半圆形槽壁对小球的摩擦力大小恒定不变．求：
（1）小球开始下落后，第一次到达A点时的速度大小v_A；
（2）小球第一次离槽上升高度h；
（3）小球最多能飞出槽外几次？（g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）分析小球从最高点到槽口的过程，由机械能守恒定律求小球第一次到达A点时的速度．
（2）再分析小球从下落到第一次飞出到最高点，由动能定理可求得最高点的高度h；
（3）要使小球飞出去，则小球在槽口的速度应大于等于零，由动能定理可求得小球在半圆形槽上运动时，克服摩擦力做的总功，即可求得小球最多飞出槽外的次数．

解答 解：（1）小球开始下落到第一次到达A点的过程机械能守恒，则有：
mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入数据解得：v_A=10m/s
（2）小球从高处至槽口时，只有重力做功；由槽口至槽底端重力、摩擦力都做功．由于对称性，圆槽右半部分摩擦力的功与左半部分摩擦力的功相等．小球落至槽底部的整个过程中，由动能定理得：
mg（H+R）-W_f=$\frac{1}{2}$mv_B²；
解得：W_f=mg（H+R）-$\frac{1}{2}$mv_B²=0.5×10×（5+0.4）-$\frac{1}{2}$×0.5×10²=2J；
由对称性知，小球从槽底到槽左端口克服摩擦力做功也为2J，设小球第一次离槽上升的高度为h，从最低点到左侧最高点的过程，由动能定理得：
-mg（h+R）-W_f=0-$\frac{1}{2}$mv_B²；
代入数据解得：h=4.2m
（3）设小球飞出槽外n次，对整个过程，由动能定理得：mgH-n×2W_f=0
解得：n=$\frac{mgH}{2{W}_{f}}$=6.25，n只能取整数，故小球最多能飞出槽外6次．
答：（1）小球开始下落后，第一次到达A点时的速度大小v_A是10m/s
（2）小球第一次离槽上升高度h为4.2m；
（3）小球最多能飞出槽外6次．

点评 解决本题的关键是抓住小球在凹槽左右两侧克服摩擦力做功相等，即抓住对称性．知道小球做往复运动时，每经历凹槽一次损失的机械能都相同．