Question

4．如图所示，离地面足够高处有一竖直空管，管长为l=0.2m，M、N为空管的上、下两端，以恒定的速度向下做匀速直线运动，同时在空管N点下端距离d=0.25m有一小球开始做自由落体运动，取g=10m/s，求：
（1）若经过t₁=0.2s，小球与N点等高，求空管的速度大小v₀；
（2）若经过t₂=0.5s，小球在空管内部，求空管的速度大小v₀应满足什么条件；
（3）为了使小球在空管内部运动的时间最长，求v₀的大小，并求出这个最长时间．

Answer 1

分析 （1）小球做自由落体运动，而管做匀速运动，由位移公式与位置关系即可求出；
（2）小球做自由落体运动，管做匀速运动，由位移公式与位置关系，结合两个临界条件即可求出．
（3）求出空管落地的时间，小球要落入空管内，判断出小球在空管落地的时间内的位移必须满足的条件，根据匀变速直线运动的位移时间公式求出小球的初速度范围．

解答 解：（1）当球与N点等高时，则：${v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}=d$   
得：v₀=2.25m/s
（2）若v₀最小时，球恰好运动到与N点等高，则：${v}_{0}{t}_{2}-\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}=d$
得：v₀=3m/s 
若v₀最大时，球恰好运动到与M点等高，则：
${v}_{0}{t}_{3}-\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}=d+l$
  得：v₀=3.4m/s 
故：3m/s≤v₀≤3.4m/s     
（3）当时间最长时，球运动到M处恰好与管共速，则：
v₀=gt₄    
${v}_{0}{t}_{4}-\frac{1}{2}g{t}_{4}^{2}=d+l$  
解得：v₀=3m/s   
小球与N点等高时，则：${v}_{0}{t}_{5}-\frac{1}{2}g{t}_{5}^{2}=d$ 
解得：t=0.1或t=0.5
则：t_m=△t=0.5-0.1=0.4s 
答：（1）若经过t₁=0.2s，小球与N点等高，空管的速度大小是2.25m/s；
（2）若经过t₂=0.5s，小球在空管内部，空管的速度大小v₀应满足条件3m/s≤v₀≤3.4m/s；
（3）为了使小球在空管内部运动的时间最长，v₀的大小是3m/s，这个最长时间是0.4s．

点评 本题考查了匀变速直线运动的规律，关键理清空管和小球的运动情况，抓住相等的量，运用运动学公式灵活求解．