Question

（10分）如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球拉直水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，不计线与钉子碰撞时的能量损失。求钉子位置在水平线上的取值范围。

   

Answer 1

解析：

这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题．题中涉及两个临界条件：一是线承受的最大拉力不大于9mg；另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于（r是做圆周运动的半径）．设在D点绳刚好承受最大拉力，设DE=x₁，则：AD=

悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：r₁=l－AD= l－    ①（2分）

当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v，由牛顿第二定律有：

F－mg=                                ②      （1分）

结合F≤9mg可得：≤8mg                ③     （1分）

由机械能守恒定律得：mg (+r₁)=mv₁²

即：v²=2g (+r₁)                         ④         （1分）

由①②③式联立解得：x₁≤l              ⑤         （2分）

随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大。转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径r越大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了。

设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x₂，如图，则：AG=

r₂=l－AG= l－                    ⑥        （1分）

在最高点：mg≤                      ⑦        （1分）

由机械能守恒定律得：mg (r₂)=mv₂²        ⑧                （1分）

由④⑤⑥联立得：x₂≥l                    ⑨                 （2分）

在水平线上EF上钉子的位置范围是：l≤x≤l                  （2分）