Question

如图所示，一质量为m₁、长为L的长木板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m₂的小滑块．滑块用一很长细线跨过桌面边沿定滑轮，现以恒定速度v向下拉线，滑块最多只能到达板的中点，已知整个过程板的右端都不会到达桌面边沿．试求
（1）当滑块刚到达木板中点时木板的位移；
（2）若木板与桌面间有摩擦，为使滑块能达到木板的右端，木板与桌面间的动摩擦因数应满足什么条件？

Answer 1

解：（1）滑块与长木板相对滑动过程
小滑块m₁匀速运动，则有：vt=s₁ ①
长木板m₂匀加速运动，则有：vt=s₂ ②
又几何关系得：s₁-s₂=L ③
联立以上三式得s₂=L
（2）设滑块与长木板之间摩擦因数为μ₁
当桌面光滑时有 μ₁m₂g=m₁a₁ ④
v²=2a₁s₂ ⑤
由④⑤得μ₁=

如果板与桌面有摩擦，因为长木板与桌面摩擦因数越大，滑块越易从右端滑下，所以当滑块滑到长木板右端两者刚好共速时摩擦因数最小，设为μ₂
对长木板有：m₁a₂=μ₁m₂g-μ₂（m₁+m₂）g ⑥
⑦

v²=2a₂s′₂ ⑧
对滑块有：vt′=s′₁ ⑨
又 s′₁-s′₂=L ⑩
联立以上五式得 μ₂=

所以桌面与板间的摩擦因数μ≥
答：
（1）当滑块刚到达木板中点时木板的位移是L；
（2）若木板与桌面间有摩擦，为使滑块能达到木板的右端，木板与桌面间的动摩擦因数应满足的条件是μ≥．
分析：（1）由题意知，滑块做匀速运动，木板做匀加速运动，当滑块滑到木板的中点时，两者速度相等，均为v，运用运动学公式分别表示两个物体的位移，根据位移之差等于L，即可求出木板的位移；
（2）当桌面光滑时，由牛顿第二定律和运动学结合求出滑块与长木板之间摩擦因数μ₁．如果板与桌面有摩擦，因为长木板与桌面摩擦因数越大，滑块越易从右端滑下，所以当滑块滑到长木板右端两者刚好共速时摩擦因数最小，设为μ₂．对木板，运用牛顿第二定律和运动学公式列式，结合滑块与长木板的位移之差等于L，即可求得μ₂．从而得到其范围．
点评：明确临界条件，弄清物块和木板之间的位移、速度、加速度关系是解答本题的关键．