Question

（2010?天津模拟）如图所示的“s”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆的半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平方向不可移动．弹射装置将一个小球（其直径略小于细管的内径）从a点水平射出，并从b点进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出（抛出后小球不会再碰轨道），已知小球与地面ab段间的动摩擦因数为μ=0.2，不计其它机械能损失，ab段长L=1.25m，圆的半径R=0.1m，小球质量m=0.01kg，轨道质量为M=0.26kg，g=l0m/s²，求：
（1）若在a点弹射装置对小球水平的瞬时冲量I=0.05N?s，求小球从最高点d抛出后的水平射程．
（2）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，若小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力恰好为零，则小球在a点的速度v₀为多大．

Answer 1

分析：（1）根据动量定理求出小球的初速度，通过动能定理求出小球运动到d的速度，结合平抛运动的规律求出水平射程．
（2）小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力恰好为零，知小球对C点弹力等于轨道的重力，根据牛顿第二定律求出小球在C点的速度，结合动能定理求出初速度的大小．

解答：解：（1）由动量定理可知，I=mv₀-0  
设小球到达d点处速度为v，由动能定理，得
-μmgL-mg?4R=

1

2

mv2-

1

2

mv02
小球由d点做平抛运动，有4R=

1

2

gt2
s=vt
联立①②③并代入数值，解得小球从最高点d抛出后的水平射程：
s=

2 6

5

m≈0.98m
（2）设小球到达c点处速度为v_c，由动能定理，得
-μmgL-mg?2R=

1

2

mvc2-

1

2

mv02
当小球通过c点时，由牛顿第二定律得
N′+mg=m

vc2

R

要使轨道对地面的压力为零，有N′=Mg
解得小球的最小速度：v₀=6m/s．
答：（1）小球从最高点d抛出后的水平射程为0.98m．
（2）小球在a点的速度v₀为6m/s．

点评：本题综合考查了动量定理、动能定理、牛顿第二定律，涉及到平抛运动、圆周运动、直线运动，综合性较强，是一道好题．